大学偏微分方程（数理方程）（大学通用）上册《本征值问题与Sturm-Liouville理论》练习题

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本单元考点（5 个）

Sturm-Liouville型方程的标准形式本征值与本征函数的性质本征函数的正交性本征函数展开定理正则奇点与本征值问题

本单元练习题（9 题）

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1. 设 Sturm-Liouville 问题 X''+λX=0，X(0)=0，X(π)=0 的本征值为 λₙ=n²（n=1,2,3,…），对应的本征函数为 Xₙ(x)=sin(nx)。下列关于该问题本征值与本征函数性质的结论中，正确的是 A. 本征值均为负实数，且对应的本征函数在 (0,π) 上无零点 B. 不同本征值对应的本征函数在区间 [0,π] 上关于权函数 1 正交 C. 任一本征函数在 (0,π) 内至多有一个零点 D. 本征值可以构成一个在 ℝ 中无聚点的有限集合

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2. 设 Sturm-Liouville 问题 X''+λX=0，X'(0)=0，X(π/2)=0 的本征值为 λₙ=(2n+1)²（n=0,1,2,…），对应的本征函数为 Xₙ(x)=cos((2n+1)x)。关于该问题的本征值与本征函数，下列结论正确的是： A. 对任意 m≠n，Xₘ 与 Xₙ 在 [0,π/2] 上带权 1 正交 B. 本征值 λₙ 可取任意正实数 C. 两个不同的本征值一定对应同一个本征函数 D. 任意两个本征函数 Xₘ、Xₙ 在 [0,π/2] 上都不正交

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3. 设 Sturm-Liouville 问题 X''+λX=0，X(0)=0，X(π)=0 的本征函数系为 {sin(nx)}（n=1,2,…）。依据本征函数展开定理，定义在 [0,π] 上且满足边界条件的分段光滑函数 f(x) 可按该本征函数系展开为 f(x)=∑cₙsin(nx)，则下列说法正确的是： A. 展开式在 [0,π] 上恒等于 f(x)，包括端点处 B. 系数 cₙ=∫₀^π f(x)sin(nx)dx C. 展开系数 cₙ 由 cₙ=(2/π)∫₀^π f(x)sin(nx)dx 给出，收敛性由 f 的光滑性保证 D. 任意的 f(x)（不要求光滑）都能展开成一致收敛的级数

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4. 下列关于二阶 Sturm-Liouville 型方程标准形式的说法中，正确的是： A. 标准形式为 (p(x)y′)′+q(x)y+λω(x)y=0，其中权函数 ω(x)>0，p(x)>0 B. 标准形式中权函数 ω(x) 必须恒等于 1 C. 标准形式中 q(x) 必须恒为正函数 D. 标准形式要求区间上 p(x) 为负函数

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5. 设本征值问题 X''+λX=0，X(0)=0，X'(1)=0，其本征函数系为 Xₙ(x)=sin((n+1/2)πx)（n=0,1,2,…），且各函数在[0,1]上带权1正交。按本征函数展开定理，将 f(x)=x 在[0,1]上展开为 f(x)=∑ₙ aₙsin((n+1/2)πx)，则展开系数 a₁ 等于（　） A. -8/(9π²)　B. 8/(9π²)　C. -8/(3π²)　D. 4/(9π²)

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6. 设 λ_m, λ_n 是 Sturm-Liouville 问题 X''+λX=0, X(0)=0, X(π)=0 的两个不同本征值，对应本征函数 X_m(x), X_n(x)。则下列关于本征函数正交性的结论正确的是（　） A. ∫₀^π X_m(x)X_n(x)dx = 0 (m≠n) B. ∫₀^π X_m(x)X_n(x)dx = 1 (m≠n) C. 对任意 m, n 都有 ∫₀^π X_m(x)X_n(x)dx = 0 D. 正交性要求权重函数 ρ(x)=x 才成立

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7. 将二阶方程 x²y″+2xy′+λy=0（x∈(1,e]）化为 Sturm-Liouville 型标准形式 (p(x)y′)′+q(x)y+λω(x)y=0，则正确的结论是： A. p(x)=x²，q(x)=0，ω(x)=1 B. p(x)=1，q(x)=2/x，ω(x)=λ/x² C. p(x)=x²，q(x)=1，ω(x)=0 D. p(x)=e^(2lnx)，q(x)=2/x，ω(x)=1/x²

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8. 设区间为 (0,1)。下列四个二阶线性方程中，能通过同解变形化为 Sturm-Liouville 标准形式 (p(x)y′)′+q(x)y+λω(x)y=0 且满足 p(x)=x² 的是哪一个？A. x²y″+2xy′+λy=0　B. xy″+3y′+λy=0　C. x²y″+3xy′+λy=0　D. y″+2xy′+λy=0

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9. 设 Sturm-Liouville 问题 X''+λX=0，X(0)=0，X'(1)=0 的本征值与本征函数分别为 λₙ=((2n+1)π/2)²，Xₙ(x)=sin((2n+1)πx/2)（n=0,1,2,…）。下列结论正确的是： A. ∫₀¹ X₀(x)X₁(x)dx = 1/2 B. ∫₀¹ X₁²(x)dx = 1 C. 全部本征值 λₙ 均为正数，且本征函数系在[0,1]上关于权函数1两两正交 D. 本征函数系在[0,1]上正交，但该问题存在负本征值

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