大学偏微分方程（数理方程）（大学通用）上册《典型方程的导出与定解条件》练习题

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本单元考点（5 个）

波动方程的导出热传导方程的导出拉普拉斯方程的导出初始条件与边界条件定解问题的适定性

本单元练习题（9 题）

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1. 考察三个定解问题：（甲）两端固定的弦振动方程初值问题，满足存在唯一且连续依赖于初始数据的解；（乙）某热传导问题在初始温度分布不连续时无经典解；（丙）某拉普拉斯方程边值问题的解存在但不唯一。依据定解问题适定性的定义（存在性、唯一性、稳定性三者缺一不可），下列判断正确的是 A. 甲、乙、丙均适定 B. 甲适定，乙、丙不适定 C. 甲、丙适定，乙不适定 D. 仅乙不适定

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2. 一根长为 L 的均匀细杆做一维热传导，杆内初始温度分布为 f(x)；随后 x=0 端始终保持恒温 T₀，而 x=L 端与外界绝热（无热流通过）。关于该定解问题中初始条件的个数与两个端点处边界条件的类型，下列判断正确的是 A. 初始条件1个；x=0 端为第一类边界条件，x=L 端为第二类齐次边界条件 B. 初始条件2个；x=0 端为第二类边界条件，x=L 端为第一类齐次边界条件 C. 初始条件1个；两端均为第一类边界条件 D. 初始条件2个；x=0 端为第一类边界条件，x=L 端为第二类齐次边界条件

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3. 设均匀各向同性介质中的温度分布函数 u(x,y,z,t) 满足傅里叶定律：热流密度向量 q = -k∇u（k 为正常数）。由能量守恒，物体内任意点温度随时间的变化率为 u_t = -(1/(cρ))·div q。若介质中持续处于热平衡状态，即温度不随时间变化（u_t = 0），且 k、c、ρ 均为常数，则 u 满足的方程为（　） A. u_xx + u_yy + u_zz = 0 B. u_xx + u_yy + u_zz = 1 C. u_xx - u_yy + u_zz = 0 D. u_xx + u_yy + u_zz ≠ 0，方程无法确定

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4. 设薄膜上电荷面密度为0，静电位 u(x,y,z) 在区域 Ω 内二阶连续可微，且满足：在 Ω 内任一点，场强 E = -∇u，电位移 D = εE（ε 为正常数），由高斯定律 ∇·D = 0。对 u 求三个二阶偏导并相加，所得方程为：Δu ≡ u_xx + u_yy + u_zz = 0。若 u(x,y,z) = x² + ay² + z² 是 Ω 内的调和函数（即满足上述拉普拉斯方程），则常数 a = ？A. a = -1　B. a = -2　C. a = 1/2　D. a = 2

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5. 设静电场内部无电荷区域中电位函数 u 满足：由高斯定律，电位移矢量 D = εE（E = -∇u）在区域内任一点散度为零，且 ε 为常数。由此可导出电位 u 满足的方程。下列关于该方程的结论正确的是： A. 方程为 Δu = 0，即 u_xx + u_yy + u_zz = 0，称为拉普拉斯方程 B. 方程为 u_xx + u_yy + u_zz = f(x,y,z)，其中 f 为任意非零函数 C. 方程为 u_t = a²Δu，与时间变量 t 有关 D. 方程为 u_tt = a²Δu，含二阶时间导数项

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6. 一根均匀细杆侧面绝热，内部无热源，杆的温度为 u(x,t)。在推导一维热传导方程 ∂u/∂t = a² ∂²u/∂x² 时，下列关于各步骤或条件的说法正确的是： A. 利用 Fourier 实验定律时，热流密度沿 x 轴正向流动对应热流强度 q = -k·∂u/∂x，负号表示热量由高温处流向低温处 B. 若杆侧面不绝热且与介质有热交换，则仍能严格导出同样的齐次热传导方程，不需附加任何修正项 C. 热传导方程的推导只需能量守恒定律，无需 Fourier 实验定律即可完成 D. 推导中时间区间 [t₁,t₂] 上的热量守恒关系只对 t₁=0、t₂=∞ 才成立，对任意有限时间区间不成立

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7. 设长为 L 的均匀细杆做热传导，杆内温度函数为 u(x,t)（0≤x≤L，t≥0）。关于其定解条件的下列说法中，正确的是（　） A. 只需给出初始条件 u(x,0)=φ(x) 即可确定唯一解 B. 初始条件描述 t=0 时刻杆内温度分布，边界条件描述杆两端与外界的热交换情况 C. 边界条件的个数只与时间变量有关，通常需要给出四个边界条件 D. 热传导方程只需边界条件，不需初始条件

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8. 称一个定解问题是适定的，需同时满足三个条件。下列关于适定性概念的表述中，正确的是： A. 只要解存在且唯一，该定解问题就是适定的 B. 只要解连续依赖于初始数据，解就必然存在且唯一 C. 适定性要求解存在、唯一，且连续依赖于定解条件（如初始数据或边界数据） D. 适定性只对波动方程成立，对热传导方程与拉普拉斯方程无需考虑适定性

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9. 关于定解问题适定性概念的下列说法，正确的是（　）甲：一个定解问题只要解存在且唯一，该问题就是适定的。乙：稳定性指解对定解条件（初始条件、边界条件）的连续依赖性，它不属于适定性要求的内容。丙：按经典解的定义，弦振动方程混合问题要存在经典解，初始位移与初始速度函数需具有足够的光滑性（至少连续），否则经典解可能不存在。丁：定解条件的个数可以任意增多，附加多余的条件不会影响定解问题的适定性。 A. 甲　B. 乙　C. 丙　D. 丁

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