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大学偏微分方程（数理方程）（大学通用）上册《积分变换法》练习题

共 18 道沉淀题 · AI 对照课标原创 · 三重审校答案可核对

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本单元考点（4 个）

傅里叶变换的定义与性质拉普拉斯变换的定义与性质积分变换法求解无界问题变换反演与卷积定理

本单元练习题（18 题）

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1. 设 f(t)=e^(-t)（t≥0），F(p) 为其拉普拉斯变换，即 F(p)=1/(p+1)。根据卷积定理，F(p)² 的拉普拉斯逆变换 f*f 对应的原函数为（　） A. t·e^(-t) B. t²·e^(-t)/2 C. t·e^(-t)/2 D. e^(-t)−e^(-2t)

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2. 用拉普拉斯变换（对时间变量 t 作变换）求解半无界热传导问题：u_t = u_xx（x>0，t>0），初始条件 u(x,0)=0，边界条件 u(0,t)=e^(-t)，且要求 |u(x,t)| 有界。设 U(x,s) 为 u 关于 t 的拉普拉斯像函数，则变换后的常微分方程边值问题的解 U(x,s) 为（　） A. e^(-x√s)/(s+1) B. e^(x√s)/(s+1) C. e^(-x√s)/s D. (1−e^(-x√s))/(s+1)

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3. 设无界杆上的温度分布 u(x,t) 满足热传导方程 u_t = u_xx（-∞<x<∞，t>0），初始条件为 u(x,0)=e^(-x²)。对 x 作傅里叶变换求解该初值问题，则 u(0,1) = ____

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4. 设 f(x)=e^(−x²)，已知其傅里叶变换 F(ω)=√π·e^(−ω²/4)。利用 F(0)=∫_(−∞)^(+∞) e^(−x²)dx=√π 这一事实，则积分 ∫_(−∞)^(+∞) e^(−x²)·cos(2x)dx = ____。

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5. 设函数 f(t) 的拉普拉斯变换为 F(s)=1/(s²+4)（s>0）。利用拉普拉斯变换的基本性质与常见函数的变换公式，逆推 f(t)，则 f(t) 等于（　） A. sin2t B. (1/2)sin2t C. 2sin2t D. cos2t

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6. 设 f(t)=t²e^(3t)（t≥0），其拉普拉斯变换记为 F(s)。利用拉普拉斯变换的位移性质与幂函数变换公式，则 F(5) 的值为（　） A. 1/4　B. 2　C. 1/8　D. 4

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7. 设 f(x) = e^(−2|x|)，记 F(ω) = ∫_{−∞}^{+∞} f(x)e^(−iωx)dx 为 f 的傅里叶变换，则 F(0) = ____。

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8. 设函数 f(t)=e^(2t)（t≥0），其拉普拉斯变换记为 F(s)。直接由拉普拉斯变换的定义计算积分 ∫₀^∞ e^(2t)e^(-st)dt（s>2），则 F(4) 等于（　） A. 1/2 B. 2 C. 1/4 D. 4

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9. 设 f(t)=1（t≥0），g(t)=sin t（t≥0），其拉普拉斯变换分别为 F(p)=1/p，G(p)=1/(p²+1)。由卷积定理，H(p)=F(p)G(p)=1/[p(p²+1)] 的拉普拉斯逆变换 h(t)=f*g，则 h(π) 的值为（　） A. 0　B. 1　C. 2　D. π

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10. 设函数 f(t)=cos(3t)（t≥0），其拉普拉斯变换记为 F(s)。利用余弦函数的拉普拉斯变换公式直接写出 F(s)，则 F(s)=____（s>0）

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11. 设 f(x) = e^(−3|x|)，记 F(ω) = ∫_{−∞}^{+∞} f(x)e^(−iωx)dx 为 f 的傅里叶变换，则 F(ω) = ____。

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12. 已知 f(x) 的傅里叶变换为 F(ω)，即 F[f(x)] = F(ω)，则由傅里叶变换的相似性质，F[f(2x)] = （　　）。下列四个关于变换性质或结果的叙述中，正确的是： A. F[f(2x)] = (1/2)F(ω/2) B. F[f(2x)] = 2F(2ω) C. F[f(2x)] = F(ω/2) D. F[f(2x)] = (1/2)F(2ω)

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13. 设函数 f(t)=t·e^(-2t)（t≥0），其拉普拉斯变换记为 F(s)。已知 L{t}=1/s²（s>0），并利用拉普拉斯变换的位移性质，则 F(1) 的值为（　） A. 1/9　B. 1/4　C. 1/3　D. 1/16

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14. 设无界杆的温度分布 u(x,t) 满足热传导方程 u_t = u_xx（-∞<x<∞，t>0），初始条件为 u(x,0)=cos(2x)。对 x 作傅里叶变换求解，则解为 u(x,t)=____

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15. 设 f(t)=t·e^(−2t)（t≥0），其拉普拉斯变换记为 F(s)。利用拉普拉斯变换的定义（象函数积分）与位移性质，先求出 F(s)，再计算 F(3)=____

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16. 设 f(x)=e^(−|x|)，其傅里叶变换为 F(ω)=∫_(−∞)^(+∞) f(x)e^(−iωx)dx。利用傅里叶变换的定义与已知结果 ∫_(−∞)^(+∞) e^(−|x|)e^(−iωx)dx = 2/(1+ω²)，则积分 ∫_(−∞)^(+∞) e^(−|x|)cos x dx =______。 A. 1　B. 1/2　C. 2　D. π

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17. 设 f(t)=t（t≥0），g(t)=e^(-2t)（t≥0），其拉普拉斯变换分别为 F(p)=1/p²，G(p)=1/(p+2)。记 h(t)=(f*g)(t) 为二者的卷积，则由卷积定理与部分分式法，h(1/2)=____

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18. 设 f(t)=sin t，g(t)=e^(-t)（t≥0），其拉普拉斯变换分别为 F(p)=1/(p²+1)，G(p)=1/(p+1)。由卷积定理，函数 H(p)=F(p)G(p) 的拉普拉斯逆变换 h(t)=(f*g)(t)=∫₀ᵗ sin τ·e^(-(t-τ))dτ。则 h(t)=____。

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