大学偏微分方程（数理方程）（大学通用）上册《傅里叶级数法》练习题

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本单元考点（4 个）

傅里叶级数的系数计算周期延拓与奇偶延拓傅里叶级数法求解初边值问题傅里叶级数的收敛性

本单元练习题（9 题）

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1. 设 u(x,t) 满足热方程 u_t = u_xx（0<x<π, t>0），边界条件 u(0,t)=u(π,t)=0，初始条件 u(x,0)=3sin x。将初始函数按特征函数系 {sin nx} 展开并求解，则解 u(x,t) 为（　） A. 3e^(-t) sin x B. 3e^(t) sin x C. 3e^(-4t) sin x D. 3cos t sin x

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2. 设 u(x,t) 满足热传导方程 u_t = u_xx（0<x<π，t>0），边界条件 u(0,t)=u(π,t)=0，初始条件 u(x,0)=x(π−x)。用傅里叶级数法将初始函数展开为正弦级数 x(π−x)=∑ b_n sin(nx)，则系数 b_3 等于多少？ A. 8/(27π)　B. 8/π　C. 4/(27π)　D. 0

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3. 设 f(x)=x(π−x)（0<x<π）按正弦级数展开为 f(x)=∑bₙsin(nx)，则系数 b₃ 等于多少？ A. 8/(27π) B. 4/(27π) C. 8/(9π) D. −8/(27π)

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4. 设 f(x) 是以 2π 为周期的函数，在 (−π,π] 上 f(x)=e^x。记 S(x) 为 f(x) 的傅里叶级数，则 S(π) 等于（　　） A. e^π　B. e^(−π)　C. (e^π+e^(−π))/2　D. (e^π−e^(−π))/2

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5. 将函数 f(x)=x² (0<x<π) 展开为正弦级数 f(x)=∑ bₙsin(nx)，则傅里叶系数 b₂ =（　　） A. π B. -π C. π²/2 D. -π²/2

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6. 将 f(x)=π−x（0<x<π）作奇延拓并以 2π 为周期延拓到整个实轴，设其傅里叶级数为 ∑(aₙcosnx+bₙsinnx)，则系数 b₁ 等于（） A. π B. 2 C. 1 D. 4/π

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7. 设 f(x) 是以 2π 为周期的函数，在 (−π,π] 上 f(x)=x³。则 f 的傅里叶级数在 x=π 处收敛于（　　） A. π³　B. 0　C. π³/2　D. −π³/2

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8. 将定义在区间 (0,1) 上的函数 f(x)=x² 先作偶延拓到 (−1,1)，再以 2 为周期延拓到整个实轴，得到函数 F(x)。则下列关于 F(x) 的结论正确的是（） A. F(x) 是奇函数，其傅里叶级数只含正弦项 B. F(x) 是偶函数，且 F(−1)=F(1)=1 C. F(−1/2)=−1/4 D. F(x) 在整个实轴上恒等于 x²

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9. 将函数 f(x)=1+x（0<x<1）作偶延拓，再以 2 为周期延拓到整个实轴，得到周期函数 F(x)，其傅里叶级数为 F(x)~a₀/2+∑(aₙcosnπx+bₙsinnπx)。则系数 a₀ 等于（） A. 3　B. 3/2　C. 2　D. 0

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