大学偏微分方程（数理方程）（大学通用）上册《分离变量法》练习题

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本单元考点（5 个）

分离变量法的基本步骤齐次边界条件下的本征值问题叠加原理与通解构造非齐次方程的处理非齐次边界条件的处理

本单元练习题（9 题）

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1. 设定解问题的边界条件为 u(0,t)=1，u(3,t)=t。用分离变量法求解时，需作变换 u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)，其中 v(x,t) 满足齐次边界条件。则可取的 w(x,t) 为（　） A. w(x,t)=1+(t/3)x B. w(x,t)=1+x+t C. w(x,t)=(t/3)x D. w(x,t)=x

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2. 用分离变量法求解定解问题：u_tt = 4u_xx（0<x<2, t>0），u(0,t)=u(2,t)=0，u(x,0)=sin(πx/2)+2sin(πx)，u_t(x,0)=0。由叠加原理得级数解后，求 u(1,1) 的值。A. 0　B. 1　C. -1　D. -2

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3. 设定解问题中 u(x,t) 满足边界条件 u(0,t)=0，u(2,t)=t+1。欲作变换 u(x,t)=v(x,t)+w(x,t) 使 v 满足齐次边界条件 v(0,t)=v(2,t)=0，则可选取的 w(x,t) 为（　） A. w(x,t)=x(t+1)/2 B. w(x,t)=(2−x)(t+1)/2 C. w(x,t)=x(t−1)/2 D. w(x,t)=t+1

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4. 设 u₁、u₂ 分别是弦振动方程 u_tt = a²u_xx（0<x<L）在齐次边界条件 u(0,t)=u(L,t)=0 下的两个解，且 u₁(x,0)=2sin(3πx/L)、u₂(x,0)=sin(πx/L)（初速度均为零）。由叠加原理，函数 u = 2u₁ - 3u₂ 仍是该定解问题的解，则其初始位移 u(x,0) 为　A. sin(5πx/L)　B. 4sin(3πx/L) - 3sin(πx/L)　C. 4sin(3πx/L) + 3sin(πx/L)　D. sin(3πx/L) - sin(πx/L)

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5. 设弦振动方程定解问题：u_tt = u_xx，0<x<π，t>0，边界条件 u(0,t)=u(π,t)=0，初始条件 u(x,0)=5sin3x − 3sin x，u_t(x,0)=0。利用叠加原理与分离变量法所得通解结构，求 u(x,t) 的正确表达式。下列四个表达式中，正确的是哪一个？ A. 5sin3t·sin3x − 3sin t·sin x B. 5cos3t·sin3x − 3cos t·sin x C. 5cos t·sin3x − 3cos3t·sin x D. −5cos3t·sin3x + 3cos t·sin x

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6. 设本征值问题为 X''+λX=0（0<x<π），边界条件 X(0)=0，X(π)=0。当 λ>0 时，其非零本征值 λₙ 与对应本征函数 Xₙ(x) 为（　） A. λₙ=n²，Xₙ(x)=sin(nx)，n=1,2,3,… B. λₙ=n²，Xₙ(x)=cos(nx)，n=1,2,3,… C. λₙ=(nπ)²，Xₙ(x)=sin(nπx)，n=1,2,3,… D. λₙ=(2n+1)²/4，Xₙ(x)=sin((2n+1)x/2)，n=0,1,2,…

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7. 设 u(x,t) 满足定解问题：u_t = a²u_xx（0<x<2），边界条件 u(0,t)=0，u(2,t)=t+1。为用分离变量法求解，作变换 u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)，使 v 关于 x 满足齐次边界条件 v(0,t)=v(2,t)=0。则可取的辅助函数 w(x,t) 为（　） A. x(t+1)/2　B. (2−x)(t+1)/2　C. x(t+1)　D. t+1

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8. 用固有函数法求解定解问题：u_tt = u_xx + sin x·sin t，x∈(0,π)，边界条件 u(0,t)=u(π,t)=0，初始条件 u(x,0)=u_t(x,0)=0。按固有函数系 {sin nx} 展开，试解为 u = T(t)sin x（此时非齐次项恰与第一固有函数对应），则解 u(x,t) 等于（　） A. (1/2)(sinh t − sin t)·sin x　B. (1/2)(sinh t + sin t)·sin x　C. (1/2)(cosh t − cos t)·sin x　D. (1 − cos t)·sin x

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9. 设本征值问题为 X''+λX=0（0<x<2），边界条件 X'(0)=0，X'(2)=0。则该问题的最小本征值及对应本征函数为（　） A. λ₀=π²/4，X₀=cos(πx/4) B. λ₀=0，X₀=1（非零常数） C. λ₀=π²/2，X₀=cos(πx/2) D. λ₀=π²/4，X₀=sin(πx/4)

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