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沪教版·数学（高中）高二下册《3 车辆转弯时的安全隐患》练习题

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本单元考点（4 个）

车辆转弯的几何关系分析内轮差问题与转弯半径模型道路转弯安全宽度的计算三角函数在转弯问题中的应用

本单元练习题（27 题）

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1. 某弯道路面的横向截面中，外侧比内侧高2 m，路面横向的水平距离为5 m；车辆行驶轨迹的曲率半径为25 m。设车辆转弯时轮胎与路面间的摩擦力可忽略，重力加速度取10 m/s²。若车辆恰好能沿该倾斜路面稳定转弯，其速度为多少km/h？ A. 18　B. 36　C. 45　D. 72

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2. 某弯道路面的横向倾角为 θ，车辆以 10√2 m/s 的速度沿半径为 20 m 的弯道行驶。若取重力加速度 g=10 m/s²，并使车辆恰好不依靠路面摩擦力转弯，则 tan θ=v²/(rg)，路面的倾角 θ=____。

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3. 某货车转弯时，前后同侧车轮轴距（前后内轮间距离）为3米，后内轮的转弯半径为4米。将前后内轮轨迹近似看作同心圆弧，前内轮转弯半径与后内轮转弯半径之差称为内轮差。则该货车转弯时的内轮差为____米，合____厘米。

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4. 某车辆以低速通过圆弧形道路，忽略车身宽度及轮胎侧偏。车辆轴距为 4 m，后轴中心沿半径为 10 m 的圆弧行驶；将前轴中心轨迹与后轴中心轨迹的径向距离定义为道路转弯所需的安全宽度。该道路转弯所需的安全宽度约为多少米？（精确到 0.01 m）

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5. 某车辆转弯时，可将前、后车轴视为平行，轴距为3 m，左右车轮间距为1.5 m。以后轴中点的转弯半径R为基准，转弯内侧后轮的轨迹半径为R−0.75 m，内侧前轮的轨迹半径为√[(R−0.75)²+3²] m。若内侧前、后轮轨迹半径之差为0.5 m，则后轴中点的转弯半径R是多少？

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6. 某弯道路段按同心圆弧模型设计：车辆转弯时，内侧后角距转弯中心的距离为7 m，车身长12 m、宽2 m；车辆外侧前角到转弯中心的距离按直角三角形计算，其两直角边分别为车身长和“内侧后角半径＋车身宽”。为保证车辆通过，路面宽度至少应覆盖内侧后角与外侧前角的径向距离。该路段现有宽度为9 m，则所需最小路面宽度为____ m，现有路面还需拓宽____ m。

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7. 某高速公路弯道的路面横向倾角为θ，弯道半径r=45 m。设计时使车辆以v=15 m/s的速度行驶时，重力与路面支持力的合力恰好提供向心力，即满足 tanθ = v²/(gr)，轮胎与路面间无需摩擦力。若该弯道路面横向（沿垂直于行车方向）的水平投影宽度为12 m，重力加速度g取10 m/s²，则该弯道外侧路面比内侧路面高多少米？

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8. 一辆公交车转弯时可视为：后内轮绕圆心O作半径为12米的圆弧运动，前内轮因车身轴距约束，绕同一圆心O作圆弧运动，且前后内轮连线（即轴距）长5米，转弯时该连线与到圆心O的连线垂直。将前后内轮轨迹近似看作同心圆弧，前内轮与后内轮转弯半径之差称为内轮差。若公交车转弯角度为90°，则该车的内轮差为____米，此过程中前内轮轨迹与后内轮轨迹所围区域（圆环的一部分）的面积为____平方米。

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9. 某物流园区道路转弯处可看作圆弧形路段，转弯圆弧半径 R=15 米。车辆转弯时，车长方向的线段绕转弯中心旋转，车辆外侧前角到转弯中心的距离按直角三角形计算：一条直角边为转弯半径 R，另一条直角边为车身长 L=8 米。定义道路转弯安全宽度 w=√(R²+L²)−R。若该弯道处道路实际宽度为 3 米，且要求安全宽度不超过实际宽度，问该车辆能否安全通过此弯道？

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10. 某公交车转弯时，其前内轮的转弯半径为10米，前后轮轴距为4米。设转弯过程中车身与转弯圆的半径方向近似垂直，则后内轮的转弯半径为____米（结果保留根号），内轮差（前内轮半径与后内轮半径之差）为____米（结果保留根号）。

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11. 将车辆转弯时车身看作始终与其中心轨迹对称。某车转弯时，车身外侧边缘与转弯中心的距离为10.5 m，内侧边缘与转弯中心的距离为8.5 m，则车身宽度为___ m，车辆中心轨迹的转弯半径为___ m。

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12. 某新建园区弯道按圆弧模型设计，转弯圆弧半径 R=20 米。车辆转弯时车身可看作长 L=15 米的线段绕外侧圆弧运动，则转弯所需的安全宽度 w 满足 w=√(R²+L²)−R。据此计算该弯道的安全宽度 w 为多少米？ A. 3 米　B. 5 米　C. 10 米　D. 25 米

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13. 某消防车转弯时，车身方向与转弯圆的半径方向近似垂直。已知其前后轮轴距为5米，后内轮的转弯半径为13米，则前内轮的转弯半径为多少米？此时内轮差（前后内轮转弯半径之差）为多少米？ A. 14米，1米　B. 12米，1米　C. 12米，2米　D. 11米，2米

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14. 某封闭测试场的圆弧弯道半径为30 m，路面横截面上外侧比内侧高3 m，横向水平宽度为4 m。车辆转弯时忽略轮胎与路面的摩擦，取重力加速度g=10 m/s²。若车辆恰能不依靠摩擦力安全转弯，其设计速度为多少？ A. 10 m/s　B. 15 m/s　C. 20 m/s　D. 25 m/s

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15. 一辆货车转弯时可视为绕同一圆心O作圆周运动：后内轮的转弯半径为3米，前后内轮的连线（即轴距）长4米，且该连线与后内轮到圆心O的半径垂直，即前内轮转弯半径满足 R前² = R后² + 4²。规定前、后内轮转弯半径之差为内轮差。若驾驶员误以为内轮差就等于轴距，就会低估危险区域。根据上述模型，该货车转弯时的实际内轮差是多少米？

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16. 某车辆匀速转弯时，前、后车轴中点分别沿同心圆行驶，且车身方向始终与后车轴中点轨迹的半径垂直。已知前车轴中点轨迹半径为26 m，后车轴中点轨迹半径为24 m，则该车前后车轴间的距离为____ m。

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17. 某货车转弯时，可视为前后内轮绕同一圆心O作同心圆弧运动。已知后内轮的转弯半径为8米，前后内轮的连线（即轴距）长6米，且转弯时该连线与后内轮到圆心O的半径垂直。将前内轮转弯半径与后内轮转弯半径之差称为内轮差。则前内轮的转弯半径为____米，内轮差为____米。

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18. 某卡车转弯时，车身方向与转弯圆的半径方向近似垂直。已知其前后轮轴距为6米，前内轮的转弯半径为10米，则后内轮的转弯半径为多少米？ A. 6米　B. 8米　C. 10米　D. 12米

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19. 某试验道路的圆弧弯道半径为30 m，路面横向倾角为θ，且 sinθ=4/5、cosθ=3/5。忽略轮胎与路面的摩擦，取重力加速度 g=10 m/s²。若车辆恰好不依靠摩擦力转弯，测速设备显示的车速应为多少 km/h？ A. 54 km/h　B. 60 km/h　C. 72 km/h　D. 90 km/h

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20. 一辆货车转弯时，可视为前后内轮绕同一圆心O作同心圆弧运动。已知前内轮的转弯半径为10米，前后内轮的连线（即轴距）长6米，且转弯时该连线与后内轮到圆心O的半径垂直，故前内轮转弯半径、后内轮转弯半径与轴距满足勾股关系。将前内轮转弯半径与后内轮转弯半径之差称为内轮差。某小区入口警示线要求车辆的内轮差不超过1.8米，请通过计算判断该货车此次转弯的内轮差是否符合要求，并求出该货车的内轮差为多少米？

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21. 一辆配送车低速转弯时，前、后内轮绕同一圆心沿同心圆弧运动。转弯处测得后内轮轨迹半径为8 m，轴距为15 m；转弯时轴距方向与后内轮到圆心的半径垂直。按直角三角形模型，前内轮轨迹半径与后内轮轨迹半径之差（内轮差）是多少米？

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22. 某山区盘山公路的一段弯道，路面横向倾角为θ，弯道半径r=40 m。设计时使车辆以设计速度v行驶时，重力与路面支持力的合力恰好提供向心力，满足 tanθ = v²/(gr)。已知该路段 tanθ = 3/4，重力加速度 g=10 m/s²，车辆转弯时忽略摩擦力。求该弯道的设计速度 v 是多少？

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23. 在一段弯道公路上，路面与水平面的倾角为α，车辆沿弯道以速度v匀速转弯时，若不计摩擦，路面支持力与重力的合力恰好提供向心力，满足 tanα = v²/(gr)，其中 g 取 10 m/s²。已知某弯道的设计倾角满足 tanα = 0.25，转弯半径 r = 90 m，若一辆汽车恰以该弯道的“设计速度”（即摩擦力恰好为零时的速度）行驶，则其速度为多少千米/小时？ A. 45　B. 54　C. 60　D. 72

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24. 某小区道路转弯处，车辆转弯可看作车长方向的线段绕外侧圆弧运动。已知转弯圆弧半径 R=12 米，车身长 L=5 米，则转弯所需安全宽度 w=√(R²+L²)−R（米）。按此公式计算，该转弯处的安全宽度为（　） A. 0.5 米　B. 1 米　C. 1.5 米　D. 2 米

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25. 某弯道路段按同心圆弧模型设计，车辆内侧后角到转弯中心的距离为4 m。车辆通过弯道时，外侧前角相对内侧后角的径向位移为8 m、沿切线方向的位移为5 m，且道路安全宽度定义为外侧前角轨迹半径与内侧后角轨迹半径之差。该弯道所需安全宽度是多少厘米？

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26. 一段弯道的半径为12 m，路面横向倾角为30°。车辆转弯时忽略轮胎与路面的摩擦，取重力加速度g=10 m/s²。若路面支持力与重力的合力恰好提供向心力，则车辆的安全行驶速度为____ m/s。

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27. 某弯道路面与水平面的倾角为θ，车辆以v=20 m/s的速度沿半径r=50 m的弯道匀速转弯。不计摩擦，重力与路面支持力的合力恰好提供向心力，满足 tanθ = v²/(gr)，取g=10 m/s²。若路面横向的水平宽度为2.5 m，则路面外侧比内侧高 A. 1.6 m　B. 2.5 m　C. 2 m　D. 3.2 m

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沪教版·数学（高中）其他单元练习题

第1章集合与逻辑（27题）第5章 导数及其应用（27题）第6章 三角（27题）第1章平面直角坐标系中的直线（27题）引论（27题）第10章 空间直线与平面（27题）第2章等 等式与不等式（27题）第6章计数原理（27题）第2章 圆锥曲线（9题）第1部分 数学建模活动案例（27题）第11章简单几何体（18题）第7章 三角函数（27题）

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