人教版（B版）（主编：高存明）·数学高三上册《第一章空间向量与立体几何》练习题

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本单元考点（6 个）

空间向量的概念与线性运算共线向量与共面向量定理空间向量的数量积及坐标运算用空间向量求线面角与二面角用空间向量证线面的平行与垂直点到平面的距离与空间距离计算

本单元练习题（27 题）

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1. 在三维仓储空间中，一台巡检机器人先沿位移向量 a＝(2，1，−1) m 移动，随后沿位移向量 b＝(−1，3，2) m 移动。用向量表示机器人的总位移是多少？

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2. 在四面体 O-ABC 中，点 P 满足向量关系 OP = (1/6)OA + m·OB + n·OC（其中 O 为基底原点外的任意一点）。已知点 P 位于平面 ABC 内，且点 P 恰好在三角形 ABC 中由顶点 B 向对边 AC 所引的中线上（P 不与 B 重合）。根据共面向量定理，点 P 在平面 ABC 内当且仅当 OP 关于 OA、OB、OC 的分解系数之和为 1；而点 P 在由 B 出发的中线上，当且仅当 OA 与 OC 的系数相等。求 m − n 的值是多少？

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3. 在空间直角坐标系中，A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(0,2,0)、D(0,0,2)。直线BD与平面ABC所成角为____，平面ABC与平面BCD所成的锐二面角为____。

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4. 设向量a、b、c不共面，u=a+2b，v=2a−c，w=5a+6b+zc。若u、v、w共面，则z等于（　） A. −1　B. 1　C. −3　D. 3

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5. 某山区观测架以A为原点建立空间直角坐标系，单位为米。四个节点坐标为A(0,0,0)、B(1,1,0)、C(2,0,0)、D(0,0,√2)。已知观测面ABC所在平面为z=0，支撑杆BD与观测面ABC相交，观测面ABC与顶棚面BCD相交于直线BC。求支撑杆BD与观测面ABC所成角的大小，以及观测面ABC与顶棚面BCD所成二面角的大小？

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6. 在棱长为 2 的正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，以 A 为原点，AB、AD、AA₁ 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系。M 为棱 B₁C 的中点（B₁C 为面对角线），N 为线段 CD₁ 的中点（CD₁ 为体对角线）。设平面 A₁BD 为 α，则直线 MN 与 α 的位置关系是 A. MN∥α　B. MN⊂α　C. MN⊥α　D. MN 与 α 斜交

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7. 在空间直角坐标系中（单位：米），某探照灯位于点P(5,5,5)处，其照射主平面α经过点A(5,0,0)、B(0,5,0)、C(0,0,10)。经计算，平面α的方程为2x+2y+z−10=0。为评估设备安全间距，需计算探照灯到该平面的垂直距离。求点P到平面α的距离为多少米？

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8. 已知空间向量 a＝→AB，b＝→BC，则向量 a＋b 等于（　　） A. →AC　B. →CA　C. →AB　D. →CB

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9. 已知空间向量a=(t，−2，1)，b=(1，3，−2)，且a·b=−5，则t等于（　） A. 3　B. −3　C. 13　D. −13

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10. 在空间直角坐标系中，已知向量 a＝(1, 2, -1)，b＝(-3, 0, 4)，则 a＋2b＝____；|a＋2b|＝____。

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11. 在直角坐标系中，平面α经过点A(6,0,0)、B(0,3,0)、C(0,0,3)，点P的坐标为(1,1,1)。点P到平面α的距离为（　） A. 1/3　B. 1　C. 2/3　D. 5/3

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12. 已知点 P(2,1,3)，平面 α：2x+y+2z-6=0，平面 β 过原点 O 且与 α 平行。（1）点 P 到平面 α 的距离为____；（2）平面 α 与 β 间的距离为____。

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13. 设 a、b、u、v 为空间向量，且 3a＋2b＝u，a－b＝v，则 a＝___，b＝___。（结果用 u、v 的线性组合表示）

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14. 某空间支架以A为原点建立直角坐标系，单位为米，支架的四个节点坐标为A(0,0,0)、B(4,0,0)、C(0,4,0)、D(0,0,4)，杆CD与平面ABC相交于C。测量人员要确定杆CD与底面ABC所成的角，以及平面ABC与平面ABD所成的二面角（取0°至180°之间的角），这两个角分别是多少度？

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15. 已知空间四边形 ABCD 中，M 为线段 AB 的中点，N 为线段 CD 的中点。设 →AB＝a，→CD＝b，则向量 →MN 可用 a、b 及其他有向线段向量表示。若 →AC＝(1，2，1)，→BD＝(3，0，-1)，则 1/2(→AC＋→BD)＝____；从而 →MN＝1/2(→AC＋→BD)，其模 |→MN|＝____。

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16. 已知空间向量u=(x，2，−1)，v=(3，−4，5)，且u·v=−1，则u·(1，1，2)=____。

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17. 已知空间向量 a=(t，2，1)，b=(1，t，2)，且 a·b=8，则实数 t=____；此时 a−b 的模 |a−b|=____。

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18. 某空间支架以节点 O 为基准，向量 OA、OB、OC 不共面。节点 U、V 的位置向量分别为 OU=OA+2OB、OV=2OA+OC，节点 P 的位置向量为 OP=5OA+tOB+4OC。若 P 位于由 O、U、V 确定的平面内，则参数 t 为多少？

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19. 在空间四边形 OABC 中，设 →OA＝a，→OB＝b，→OC＝c。点 M 在线段 AB 上，且 AM : MB＝1 : 2；点 N 为线段 BC 的中点。则向量 →MN 等于（　　） A. −(2/3)a＋(1/6)b＋(1/2)c　B. (2/3)a−(1/6)b−(1/2)c　C. −(1/3)a＋(1/6)b＋(1/2)c　D. −(2/3)a＋(5/6)b−(1/2)c

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20. 在棱长为 2 的正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，建立空间直角坐标系：以 A 为原点，AB、AD、AA₁ 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴。E 为棱 CC₁ 上的点，且 CE=1，M 为线段 DE 的中点。设平面 B₁DM 的法向量为 n=(x,y,z)，则 n 可取为 A. (1,1,-2)　B. (1,-1,0)　C. (-1,1,1)　D. (-1,1,2)

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21. 在空间直角坐标系中，平面Π过原点，且有两个不共线的方向向量u=(1,1,0)、v=(0,1,1)；直线lₜ过点Q=(0,0,1)，方向向量为dₜ=(t,1,t)。当lₜ∥Π时，t=____；当lₜ⊥Π时，t=____。

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22. 在空间直角坐标系中，A(4,0,0)、B(0,3,0)、C(4,0,2)、D(0,0,5)。点D到平面ABC的距离为____。

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23. 在空间直角坐标系中，点P(1,2,0)到平面α：x+2y+2z−3=0的距离为（　） A. 2/3　B. 1/3　C. 2　D. 1

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24. 某空间检测装置以米为单位建立直角坐标系，水平基准板所在平面为P：z=0，倾斜校准板所在平面为Q：√3y+z=0，一根传感器导线的两个端点为M(0,0,0)、N(√3,0,1)。求导线MN与平面P所成的角，以及平面P与平面Q所成的锐二面角，各是多少度？

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25. 某空间定位装置以节点 O 为基准，三个不共面的定位向量为 OA、OB、OC。装置的校准节点 P 的位置向量为 OP=(t+2)OA+(2t−1)OB+(3−t)OC，其中 t 为校准刻度数。若 P 位于由 A、B、C 确定的平面内，校准值 t 为多少刻度？

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26. 在空间直角坐标系中，平面 α 内有两个不共线向量 m=(1,0,1)、n=(0,1,1)，直线 l 的方向向量为 d=(1,1,-1)。则直线 l 与平面 α 的位置关系是（　） A. l∥α　B. l⊥α　C. l 在 α 内　D. l 与 α 斜交

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27. 展厅搭建中，一块矩形承载板的相邻边所在直线交于点 O，方向向量分别为 u=(3,0,0) m、v=(0,4,0) m。一根支撑杆所在直线 l 经过 O，方向向量为 d=(0,0,5) m。用空间向量判断支撑杆是否垂直于承载板，并写出 d·u、d·v 的数值（单位：m²）？

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人教版（B版）（主编：高存明）·数学其他单元练习题

第一章集合与常用逻辑用语（27题）第四章数列（27题）第九章解三角形（27题）第七章三角函数（18题）第六章平面向量及其应用（27题）数学探究用向量法研究三角形的性质（18题）第五章一元函数的导数及其应用（27题）第二章直线和圆的方程（18题）本书拓展阅读目录（27题）第二章一元二次函数、方程和不等式（27题）本书拓展阅读目录（27题）第七章复数（27题）

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