人教版（B版）（主编：高存明）·数学高一下册《数学探究用向量法研究三角形的性质》练习题

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本单元考点（5 个）

用向量法证明三角形中线、高线性质用向量法研究三角形角平分线余弦定理的向量推导正弦定理及其应用三角形中的几何计算问题

本单元练习题（18 题）

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1. 在△PQR中，设PQ=m，PR=n，QR=l，∠QPR=θ。用向量法推导余弦定理：由向量QR=向量PR−向量PQ，得 l²=|向量PR−向量PQ|²=____；因此 l²=____。

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2. 在△ABC中，设u=AB，v=AC，|u|=6，|v|=8，且∠A的余弦为1/4。为用向量法推导余弦定理，补全：u·v=____，a²=|v−u|²=|v|²+|u|²−2u·v=____。

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3. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，M为底边BC的中点。用向量方法证明：AM⊥BC。具体地，设AB向量记为 a，AC向量记为 b，则AM向量可表示为(a+b)/2，BC向量可表示为 b−a。计算 AM·BC=(a+b)·(b−a)/2，由于 AB=AC 即 a·a=b·b，可得结果为（　　） A. 0　B. a·b　C. |a|²−|b|²　D. 2a·b

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4. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。已知a=4，b=4√3，B=60°，则A=____，c=____。

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5. 在△ABC中，设a=|BC|，b=|CA|，c=|AB|，∠A为向量AB与AC的夹角。用向量法推导余弦定理时，正确的推导链是（　） A. a²=|AC−AB|²=b²+c²−2bc cos A　B. a²=|AC+AB|²=b²+c²−2bc cos A　C. a²=|AC−AB|²=b²+c²+2bc cos A　D. a²=|AC−AB|²=b²+c²−2bc cos B

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6. 在△OAB中，O为原点，OA⃗=(6,0)，OB⃗=(0,8)。∠AOB的平分线与AB交于P，则P的坐标为（　） A. (24/7,24/7)　B. (3,3)　C. (24/5,24/5)　D. (6,8)

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7. 在△ABC中，边a、b分别是角A、B的对边。若A=30°，B=45°，a=4，则b等于（　　） A. 2　B. 2√2　C. 4　D. 4√2

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8. 在△OAB中，O为原点，向量OA⃗=(4,0)，向量OB⃗=(0,3)。∠AOB的内角平分线方向上的单位向量为____。

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9. 在△ABC中，D是BC的中点。设向量AB＝u，向量AC＝v，且AD⊥BC。由向量关系，|AB|²−|AC|²＝____，因此AB____AC。

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10. 在△ABC中，A(0,4)，B(0,0)，C(3,0)，∠BAC的平分线与BC交于点D。由角平分线的向量性质，AD⃗的方向与单位向量BA⃗/|BA⃗|+CA⃗/|CA⃗|的方向相同，可求得点D的坐标为____，向量AD⃗的模|AD⃗|=____。

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11. 在△PQR中，边p、q分别是角P、Q的对边。若P=60°，Q=45°，p=6，则q=____。

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12. 在△ABC中，向量AB⃗=(3,0)，向量AC⃗=(3,4)。∠BAC的内角平分线方向上的单位向量为（　） A. (2/√5,1/√5)　B. (3/5,4/5)　C. (2/√5,-1/√5)　D. (1/√2,1/√2)

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13. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。若b=2√6，B=60°，A=45°，则a的值为（　　） A. 2　B. 4　C. 3√2　D. 4√3

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14. 在△ABC中，A(1,2)，B(5,2)，C(1,5)，D为∠BAC的内角平分线与BC的交点。按两边方向单位向量之和表示，向量AD的方向向量为____；点D的坐标为____。

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15. 在△ABC中，M为BC的中点，AB=5，AC=3，AM=3。用向量法判断中线AM是否为高线，并求向量AM·向量BC。A. 是高线，点积为0　B. 不是高线，点积为−8　C. 不是高线，点积为8　D. 是高线，点积为−8

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16. 在△ABC中，M为BC的中点，AB=6，AC=4，BC=8。用向量方法：设向量AB=a，向量AC=b，则向量AM=(a+b)/2，向量BC=b−a。计算向量AM·向量BC，并据此判断中线AM是否为△ABC的高线。A. 点积为10，AM是高线　B. 点积为−10，AM不是高线　C. 点积为0，AM是高线　D. 点积为−10，AM是高线

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17. 在△ABC中，D是从A向BC作的高的垂足，且AB=5，AC=√17，BC=4。设向量BD=x·向量BC，则由向量平方关系可得AB²−AC²=(2x−1)BC²。求BD、DC的长度及BD∶DC：BD=____，DC=____，BD∶DC=____。

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18. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。已知a/b=√3，A=60°，则角B的度数为（　　） A. 30°　B. 45°　C. 60°　D. 90°

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人教版（B版）（主编：高存明）·数学其他单元练习题

第一章集合与常用逻辑用语（27题）第四章数列（27题）第一章空间向量与立体几何（27题）第九章解三角形（27题）第七章三角函数（18题）第六章平面向量及其应用（27题）第二章直线和圆的方程（18题）本书拓展阅读目录（27题）第五章一元函数的导数及其应用（27题）第二章一元二次函数、方程和不等式（27题）本书拓展阅读目录（27题）第七章复数（27题）

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