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人教版（B版）（主编：高存明）·数学高二上册《本书拓展阅读目录》练习题

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本单元考点（2 个）

数学史中的三角学阅读拓展阅读：向量与三角的综合阅读

本单元练习题（27 题）

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1. 数学史阅读：公元2世纪托勒密编制弦表时，以直径为120的圆为基准，表中记录的是圆心角2α所对弦的长，即弦(2α)=120sinα。据此推算，弦(60°)的值为（　　） A. 60　B. 60√3　C. 30　D. 30√3

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2. 一则数学史札记记载：古希腊弦表以圆心角 θ 对应的整条弦长为表值；印度数学家发展出的 jya 表，则以弧角 α 对应的半弦长为表值。若两表采用同一圆，印度表中 α＝30° 的表项，对应希腊弦表中的圆心角是（　） A. 15°　B. 30°　C. 60°　D. 90°

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3. 阅读材料：两向量 p、q 的模相等，夹角为 φ（0°＜φ＜180°）时，利用向量和的模与三角恒等式可知，p＋q 的方向平分 p、q 的夹角，且 |p＋q|＝2|p|cos(φ/2)。现有 |p|＝|q|＝6，且 |p＋q|＝6，则 φ＝____°，p 与 p＋q 的夹角为____°。

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4. 在力学实验中，两个大小均为150牛的拉力同时作用于同一物体，两力的方向夹角为60°。根据向量数量积与三角函数的关系，合力的大小满足 F²=F₁²+F₂²+2F₁F₂cosθ。求该物体所受合力的大小约为多少牛（结果保留一位小数）？

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5. 某展馆用两根从同一固定点伸出的拉索确定一块三角形展板的两条边。两根拉索对应的向量长度分别为8米和5米，夹角θ满足0＜θ＜π，且这两个向量的数量积为24平方米。若展板为以两根拉索为边的三角形，求展板面积？

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6. 数学史阅读：古印度数学家编制正弦表（jya表）时，以半径为60的圆为基准，表中记录圆心角α所对的半弦长，即jya(α)=60sinα。某资料记载表中某个表值为30。若该表值对应的角α为锐角，则这个表值所对应的角α是多少度？

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7. 数学史阅读：公元2世纪托勒密编制弦表时，以直径为120的圆为基准，表中记录的是圆心角2α所对的弦长，即弦(2α)=120sinα（α为锐角，2α为圆心角度数）。若某同学在表中查得一行记录的弦长为60，且该记录对应的α是15°的整数倍，则这一行记录所对应的圆心角2α是多少度？

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8. 数学史阅读：古印度数学家编制正弦表（jya表）时，以半径为60的圆为基准，表中记录圆心角α所对的半弦长，即jya(α)=60sinα（0°<α<90°）。据此推算，jya(30°)=____；若表中某表值为30√3，则它对应的圆心角α=____°。

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9. 数学史阅读：古印度数学家阿耶波多编制正弦表时，取半径为3438的圆为基准，表中记录圆心角α所对的半弦长，即 jya(α)=3438·sinα。某版本资料因抄录错误，将表中某角对应的表值写成了与 jya(60°) 相等的数。按此表定义，jya(60°) 的正确值应为（　　） A. 1719　B. 2977　C. 3438　D. 6876

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10. 一则数学史阅读札记指出：古希腊弦表把圆心角为 2α 所对的整条弦长记作表值；印度数学家使用的 jya 表，则把同一圆中对应角 α 的半弦长记作表值。若某圆的弦表记载圆心角 100° 所对弦长为 72，那么按札记所述的两种记法，该圆 jya 表中 50° 对应的表值为（ ） A. 36　B. 72　C. 18　D. 144

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11. 数学史资料介绍，15世纪的雷吉奥蒙塔努斯撰写了《论各种三角形》，分别讨论平面三角形与球面三角形的研究方法，并将三角学作为可独立展开的数学内容加以系统整理。由此可知，该书的研究对象包括____，其编写体现了三角学____。

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12. 阅读材料：对于两个非零向量 a、b，其夹角 θ（0≤θ≤π）满足 cosθ＝a·b/(|a||b|)。在船闸模型中，两根钢索从同一锚点出发，分别对应向量 a 和 b，其长度分别为 3 米和 4 米，两向量的数量积 a·b＝6 平方米·米。请根据上述材料求这两根钢索方向之间的夹角 θ 是多少度？

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13. 阅读材料：非零向量 u、v 的夹角 θ 满足 cosθ＝(u·v)/(|u||v|)，且 |u＋v|²＝|u|²＋|v|²＋2u·v。某传感器记录的两个方向向量满足 |u|＝3，|v|＝4，u·v＝6。则 θ＝____，|u＋v|²＝____。

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14. 阅读材料：两个非零向量 u、v 的夹角 θ 满足 |u＋v|²＝|u|²＋|v|²＋2u·v，且 u·v＝|u||v|cosθ。已知 |u|＝|v|＝6，|u＋v|＝6，则 θ＝____，u·v＝____。

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15. 阅读材料：非零向量 a、b 的夹角 θ 满足 cosθ＝(a·b)/(|a||b|)，且 |a＋b|²＝|a|²＋|b|²＋2a·b。已知 |a|＝5，|b|＝4，|a＋b|＝7，设向量 a 与 a＋b 的夹角为 α，则 cosα 等于（　） A. 1/5　B. 29/35　C. 29/45　D. 4/35

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16. 数学史阅读：古希腊天文学家托勒密在《至大论》中承袭希帕恰斯的做法，编制弦表时以半径为60的圆为基准，表中记录圆心角为2α的圆周角所对的整条弦长，即弦表值 chord(2α)=120·sinα（0°<α<90°）。某研究小组查阅到一份抄本，其中一条记录的弦表值为60√3。若这条记录无误，则它所对应的角α为多少度？

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17. 数学史阅读：古希腊天文学家托勒密在其弦表中，以半径为60的圆为基准，记录圆心角2α所对的弦长，即 chord(2α)=120·sinα（0°<α<90°）；而现代正弦函数以该圆的半径为单位时，记 sinα=半弦长/60。若某资料按此弦表规则查得圆心角60°所对的弦表值为60，则按现代正弦函数的定义，sin30°等于（　　） A. 1/2　B. √3/2　C. 1　D. √2/2

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18. 已知向量a、b的模分别为2和3，夹角为60°。根据向量数量积与三角函数的关系，a·b等于（　） A. 3　B. 6　C. 3√3　D. 6√3

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19. 阅读材料：在△PQR中，向量PQ·向量PR＝|向量PQ||向量PR|cos∠QPR。若|向量PQ|＝6，|向量PR|＝5，且向量PQ·向量PR＝15，则cos∠QPR＝____。

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20. 已知向量 a、b 的模分别为 2 和 1，且 a 与 b 的夹角为 θ（0≤θ≤π），若 tanθ=√3，则 a·b=____，|a+b|=____

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21. 某数学史展馆整理三角学发展展签，摘录四条史实：甲，希腊天文学家曾编制弦表以辅助天文计算；乙，托勒密在《天文学大成》中系统列出不同圆心角所对的弦长；丙，古印度数学家发展了以半弦为基础的正弦观念；丁，印度语“jya”经阿拉伯语传译后，成为拉丁语“sinus”的词源。若展馆将丙、丁归为“正弦观念及其传播”，将甲、乙归为“希腊弦表传统”，这四条展签中属于前一类别的有几条？

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22. 学校数学史阅读角拟制作一张介绍古印度数学家阿耶波多正弦表的卡片。资料记载，这张表中相邻两项对应的角度间隔为 3°45′。卡片校对时，负责同学需要补全这一信息：相邻两项对应的角度间隔是多少？

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23. 数学史资料记载，古希腊天文学家希帕恰斯曾编制弦表，为天文计算提供帮助。与这项早期三角学成就相关的人物是（　　） A. 托勒密　B. 希帕恰斯　C. 阿耶波多　D. 阿尔·巴塔尼

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24. 阅读材料：两个非零向量 a、b 的夹角 θ（0≤θ≤π）满足 cosθ＝a·b/(|a||b|)。已知 |a|＝4，|b|＝2，且 a·b＝4，则 a 与 b 的夹角 θ＝____，此时 |a＋b|＝____。

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25. 数学史阅读：13世纪数学家纳西尔丁·图西撰写了《论完全四边形》，系统阐述了平面三角学与球面三角学的方法，被后世视为率先将三角学从天文学中分离出来、使其成为一门____学科来研究的数学家；而15世纪德国数学家雷吉奥蒙塔努斯撰写的《论各种三角形》则分别讨论了平面三角形与____三角形的研究方法。

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26. 阅读材料：古希腊天文学家托勒密在《天文学大成》中整理了弦表，用圆中弦的长度辅助天文计算。根据材料，托勒密编制弦表的主要用途是（　　） A. 辅助天文计算　B. 推导数列通项　C. 研究圆锥曲线　D. 编制正切表

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27. 在物理拓展阅读中，向量数量积与三角函数的联系常用于分析力的合成。现有一个质点同时受到两个拉力作用，两力对应的向量分别为 a 与 b，其大小分别为 6 牛和 4 牛，两力方向的夹角 θ 满足 0°＜θ＜180°。实验记录显示，这两个向量的数量积 a·b＝−12 牛²。请结合数量积公式 a·b＝|a||b|cosθ 判断两力夹角 θ 的大小，并计算 |a+b|²（单位：牛²）是多少？

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人教版（B版）（主编：高存明）·数学其他单元练习题

第一章 集合与常用逻辑用语（27题）第四章 数列（27题）第一章 空间向量与立体几何（27题）第九章 解三角形（27题）第七章 三角函数（18题）第六章 平面向量及其应用（27题）数学探究 用向量法研究三角形的性质（18题）第五章 一元函数的导数及其应用（27题）第二章 直线和圆的方程（18题）本书拓展阅读目录（27题）第二章 一元二次函数、方程和不等式（27题）第七章 复数（27题）

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