人教版（B版）（主编：高存明）·数学高三下册《第五章一元函数的导数及其应用》练习题

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本单元考点（5 个）

导数的概念及其几何意义基本初等函数的导数公式与运算法则利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值与最值导数在实际问题中的应用

本单元练习题（27 题）

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1. 用一张边长为24 cm的正方形硬纸板制作一个无盖长方体盒子：在四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形后折起。要使盒子容积V(x)（单位：cm³）最大，则剪去的小正方形边长x=____ cm，此时容积最大值为____ cm³。

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2. 某工厂生产某种产品的日产量为 x 吨（1≤x≤10），每日总成本 C(x)=0.5x²+4x+100（单位：千元）。根据导数的运算法则求出成本函数的导数 C'(x)，并计算当日产量 x=6 吨时，每增加 1 吨产量总成本大约增加多少千元？

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3. 某工厂生产一种零件，前 t 个月（t>0）的累计产量 Q(t)=t²(6−t)（万件）。产量对时间的瞬时变化率反映生产效率，且生产规范要求将变化率换算为“件/月”表示。问：t=2 个月时，该厂产量的瞬时变化率是多少件/月？

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4. 某矩形场地的一边紧靠笔直围墙，现用总长为 L 米的围栏围住其余三边。若围成的场地面积最大值为 450 m²，则 L=____米。

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5. 某实验中，仪器显示值 y（单位：℃）随时间 t（单位：分钟）变化，其函数图像在 t=4 处的切线经过点（2，15）和（6，27）。该仪器显示值在 t=4 分钟时的瞬时变化率是多少？

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6. 函数 f(x)=ln x−2x 的单调递减区间是（　）。 A. (0,+∞)　B. (−∞,1/2)　C. (1/2,+∞)　D. (0,1/2)

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7. 某设备的校准档位用无量纲变量 x 表示，取值范围为 0≤x≤4；设备输出指标（单位：分）为 F_k(x)=x³−6x²+kx+20，其中 k≥0，且 k 的单位为分。为保证档位增大时输出指标始终不减，k 的最小值是多少分？

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8. 某食品检测员记录冷藏箱内温度 T 随时间 t 的变化，t 以分钟计，T 以摄氏度计。在 t=12 时，温度曲线的切线向右下方倾斜；按记录纸的刻度，横轴每格代表 4 分钟，纵轴每格代表 2 ℃，且这条切线在纸面上与横轴正向的夹角为 45°。此时箱内温度的瞬时变化率是多少？

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9. 某企业定制一种圆柱形密封储料罐，容积为 $54\pi$ 立方米（罐壁厚度忽略不计）。设底面半径为 r 米，高为 h 米。要使所用材料的表面积（含上下底面）最小，则底面半径 r=____米，最小表面积为____平方米。

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10. 某工厂生产一种产品的月产量为 x 吨（0<x≤8），月利润（单位：万元）为 W(x)=−x³+9x²+21x−5。要使月利润最大，月产量应为____吨，此时最大月利润为____万元。

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11. 设函数 f(x)=x²·ln x + bx（其中 b 为常数），若 f'(1)=5，则 b 的值为（　） A. 3　B. 4　C. 5　D. 6

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12. 某工厂生产一种产品的月产量 x（吨）满足 0<x≤10，总成本函数为 C(x)=x²+2x+100（万元）。已知每吨产品售价为 20 万元，则月产量为____吨时，利润 L(x)=20x−C(x) 取得最大值，最大利润为____万元。

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13. 设函数 fₜ(x)=x³/3−x²+tx。若 fₜ(x) 在区间 [−1,2] 上单调递增，则实数 t 的最小整数值为（　）。 A. 0　B. 1　C. 2　D. 3

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14. 函数 f(x)=x³−3x 在下列哪个区间上单调递减？ A. (−∞,−1)　B. (−1,1)　C. (1,+∞)　D. (−∞,+∞)

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15. 函数 f(x)=x³-3x²+4 的极大值为____，f(x) 在区间 [0,3] 上的最小值为____。

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16. 某实验室记录一种药液在恒温放置过程中的浓度变化，模型为 C(t)=−t²+4t+1，其中 t 为放置时间（小时），C(t) 的单位为毫克/升，且 0≤t≤3。放置期间药液浓度的最大值是多少？

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17. 已知函数 f(x)=x·cos x。则 f′(π/2)=____，f′(π/2)+f′(π)=____。

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18. 设 f(x)=(x²+1)ln x+(x−1)e^(2x)（x>0），则 f′(1) 等于（　） A. 2+e²　B. 2+2e²　C. 1+e²　D. 2+e

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19. 某小型工坊生产一种定制灯具，日产量为 q 件时，日总成本为 C(q)=2q²+7q+30（百元），其中 q≥0。按导数定义的瞬时变化率，用基本初等函数的导数公式与运算法则求日产量为 3 件时的边际成本，单位为百元/件，是多少？

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20. 已知函数 f(x) 在 x=1 处可导，且 f(1)=3，f'(1)=-2，则曲线 y=f(x) 在点 (1, 3) 处的切线方程为____；该切线在 y 轴上的截距为____。

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21. 设函数 f(x)=x³−6x²+9x+1。利用导数求 f(x) 在区间 [0,7/2] 上的最大值与最小值，依次填入：____；____。

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22. 设 f(x)=2x³+sin x−4eˣ，则 f′(0) 等于（　） A. −3　B. −5　C. 1　D. −4

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23. 设 f(x)=x+9/x（1≤x≤9）。若 m、M 分别是使 m≤f(x)≤M 对区间内所有 x 恒成立的最大实数和最小实数，则有序数对（m，M）为（　　） A. （6，10）　B. （10，6）　C. （6，9）　D. （1，10）

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24. 设 f(x)=(x²−1)eˣ+(x+1)ln(x+1)+sin(2x)（x>−1），则 f′(0) 等于（　） A. 0　B. 1　C. 2　D. 3

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25. 已知某实验过程中反应速率函数（单位：mol/(L·s)）为 f(x)=x³+ax²+3x，其中 a∈Z，x∈R。若要保证反应速率在整个定义域内始终随 x 增大而增大（即 f(x) 在 R 上单调递增），求整数 a 的最大值？

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26. 设函数 f(x)=x³+3x²−9x，其图象在区间 [−2,2] 上连续。若 M 与 m 分别是 f(x) 在该区间上的最大值与最小值，则 M+m 的值为（　　） A. 19　B. 17　C. −3　D. 15

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27. 某储能装置运行后，储能量 E(t)（单位：千瓦时）与运行时间 t（单位：小时）的关系为 E(t)=t³−6t²+9t+10，模型适用范围为 0≤t≤4。运行期间储能量的最大值和最小值分别是多少？

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人教版（B版）（主编：高存明）·数学其他单元练习题

第一章集合与常用逻辑用语（27题）第四章数列（27题）第一章空间向量与立体几何（27题）第九章解三角形（27题）第七章三角函数（18题）第六章平面向量及其应用（27题）第二章直线和圆的方程（18题）本书拓展阅读目录（27题）本书拓展阅读目录（27题）第二章一元二次函数、方程和不等式（27题）数学探究用向量法研究三角形的性质（18题）第七章复数（27题）

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