湘教版·数学（高中）高二下册《第1章导数及其应用》练习题

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本单元考点（6 个）

导数的概念与几何意义基本初等函数的导数公式与运算法则利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值与最值导数在实际问题中的应用（优化问题）定积分的概念与微积分基本定理

本单元练习题（27 题）

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1. 用一段长24米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙足够长，篱笆只需围另外三边。设垂直于墙的一边长为x米，则当矩形面积为最大时，x=____，面积的最大值为____平方米。

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2. 某工厂生产一种产品的月产量为 x 千件（0＜x≤10），月利润（单位：万元）近似满足函数 L(x)= -x³+6x²+15x-20。为制定生产计划，厂方需要确定利润的最大值。问：当月产量 x 为多少千件时，月利润 L(x) 取得最大值？最大月利润是多少万元？

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3. 一质点沿直线运动，其速度函数为 v(t)=3t²−12t+9（单位：m/s），t 为从起运动开始计时的时间（单位：s）。质点在运动过程中速度会变号，即在部分时间段内沿反方向运动。求该质点从 t=0 到 t=4 这 4 秒内的位移是多少米？

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4. 用一张边长为24 cm的正方形薄板制作无盖长方体盒，在四角各剪去一个边长为x cm的小正方形，再折起各边。为使盒子的容积最大，x应取____ cm，此时盒子的最大容积为____ cm³。

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5. 某农场利用一段长60 m的围栏，沿一面足够长的直墙围成矩形养殖区，墙面作为一边，不需围栏。设垂直于墙的边长为x m，则养殖区面积最大时，x为多少？ A. 10 m　B. 15 m　C. 20 m　D. 30 m

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6. 某储水装置在运行的前2分钟内，进水速度为 q(t)=3t²+2 升/分钟，其中 t 的单位为分钟。已知 t³+2t 是 q(t) 的一个原函数，这段时间内装置共进水多少升？

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7. 某灌装设备在启动后 0 至 3 分钟内的瞬时灌装速率为 r(t)=(t²+ct+2) 升/分钟，其中 t 的数值以分钟计，c 为常数。设备在这 3 分钟内共灌装 24 升，求 c 的值？

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8. 某化学实验中，反应混合物的温度 T（单位：℃）与反应时间 t（单位：分钟，t≥0）近似满足关系 T(t)=t²+t。根据导数的概念，温度的瞬时变化率等于温度函数在该时刻的导数。请用导数的定义求该混合物在 t=2 分钟时温度的瞬时变化率，并回答：此时温度正在以每分钟多少℃的速度上升？

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9. 某养殖户用一段长48米的篱笆，沿一面足够长的直墙围成一个矩形圈舍，并用篱笆在与墙平行的一边上加一道隔栏，将其分成两个相等的矩形小圈（墙面作一边不需篱笆，隔栏垂直于隔开的两个小圈所在区域并连于两篱笆之间）。设垂直于墙的边长为x米，则矩形圈舍的面积最大时，x=____，面积的最大值为____平方米。

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10. 某文创店销售一种纪念品，日销量为x件时，每件售价为（120−2x）元，且0≤x≤60；每日总成本为（20x+100）元。为使每日利润最大，日销量应为____件，此时每日最大利润为____元。

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11. 一台设备运行时，材料的输出速率为 r(t)=2t+3 厘米/分钟，其中 t 的单位为分钟。若设备从 t=0 连续运行到 t=4，期间输出的材料长度是多少厘米？

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12. 某设备的运行状态指标在运行后的 t 小时可用 F(t)=t³−3t²+kt+8 表示，其中 0≤t≤4，k 为校准系数。为使该指标在整个运行时段内随时间严格增加，k 的最小值是多少（单位：指标/小时）？

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13. 某工厂生产一批产品的总成本为 C(x)=x²+10x+100（万元），总收益为 R(x)=70x−x²（万元），其中 x 为产量（件），0≤x≤30。为使总利润最大，产量 x 应为多少件？ A. 10件　B. 12件　C. 15件　D. 20件

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14. 设函数 f(x)=2x²−3x，点 P(2, f(2)) 在曲线 y=f(x) 上。根据导数的几何意义，曲线在点 P 处的切线斜率等于（　　） A. 5　B. 9　C. 4　D. 7

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15. 已知函数 f(x)=x³−6x²+9x−4，则 f(x) 的单调递增区间为（　　） A. (−∞,1) 和 (3,+∞)　B. (1,3)　C. (−∞,1)　D. (3,+∞)

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16. 一物体做直线运动，其位移（单位：米）与时间 t（单位：秒，t≥0）满足 s(t)=t³−6t²+5。根据导数的概念，物体在 t=5 秒时的瞬时速度等于位移函数在该点处导数的值，即割线斜率的极限。求物体在 t=5 秒时的瞬时速度是多少米/秒？

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17. 制作一个容积为250π cm³的封闭圆柱形容器，设其底面半径和高均可调整。若要求所用材料面积最小，则容器的高为____ cm。

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18. 某社区计划用总长为36 m的装饰条制作一个矩形宣传牌的边框，设宣传牌的一边长为x m。为使宣传牌面积最大，x应取多少？ A. 8 m　B. 9 m　C. 18 m　D. 36 m

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19. 已知函数 f(x)=x³−2x+1，点 P 的横坐标为 1 且 P 在曲线 y=f(x) 上。根据导数的几何意义，曲线在点 P 处的切线斜率等于 $\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$，该极限的值为（　） A. 1　B. 3　C. −1　D. 2

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20. 已知函数 f(x)=3x⁴−2sin x，则 f′(x)=____。

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21. 已知函数 f(x)=x³−3x+1 在闭区间 [0,2] 上，则 f(x) 的最小值为____，最大值为____。

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22. 设连续函数 f 在区间 [−2，3] 上有原函数 G，且 G(−2)=1，G(1)=4，G(3)=−2，则 ∫₃⁻² f(x)dx＋2∫₋₂¹ f(x)dx＝____。

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23. 已知函数 f(x)=x³-3ax+1 在区间 (2,+∞) 上单调递增，则实数 a 的取值范围是 A. a≤4　B. a<4　C. a≤3　D. a≥4

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24. 设 f(x)=(x²+1)e^(x−1)+ln x−sin(x−1)（x>0），则 f′(1) 等于 A. 2　B. 3　C. 4　D. 5

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25. 某工厂生产某种产品的总成本 C(x)（单位：万元）与产量 x（单位：吨，0<x<20）满足 C(x)=x³−15x²+72x+50。已知当边际成本 C'(x)<0 时，总成本随产量增加而下降。问：产量 x 在哪个区间内时，总成本呈下降趋势？（区间端点用数值表示，写出开区间）

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26. 设函数 f(x)=x²，则极限 limₕ→₀[f(1+h)−f(1)]/h 的几何意义是曲线 y=f(x) 在点（1，1）处切线的斜率，其值为多少？ A. 0　B. 1　C. 2　D. 3

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27. 函数 f(x)=x³−3x² 的单调递增区间为____，单调递减区间为____。

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湘教版·数学（高中）其他单元练习题

第1章集合与逻辑（27题）第1章平面向量及其应用（27题）第1章数（27题）第2章一元二次函数、方程和不等式（9题）第2章空间向量与立体几何（27题）第2章三角恒等变换（27题）第2章平面解析几何初步（27题）第3章函数的概念与性质（27题）第3章概率（27题）第3章复数（27题）第3章圆锥曲线与方程（27题）第4章统计（18题）

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