湘教版·数学（高中）高二下册《第2章空间向量与立体几何》练习题

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本单元考点（6 个）

空间向量的概念与线性运算共线向量与共面向量定理空间向量的数量积及坐标运算用向量法求线线、线面、面面的夹角用向量法证明平行与垂直空间距离的计算（点到面、线到面）

本单元练习题（27 题）

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1. 某展陈装置的框架是棱长为2 m的正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁，支撑杆沿线段 AB₁安装，底面为平面 ABCD。用空间向量法求支撑杆与底面所成角的大小是多少？

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2. 某设备间中，平面检修板经过坐标为 A(0,0,0)、B(1,1,0)、C(0,1,2) 的三点，单位为米。一根直导轨所在直线 l 经过 P(1,2,3)，方向向量为 (1,1,0)。求直导轨 l 与检修板平面之间的距离？

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3. 某展馆搭建空间支架，建立以米为单位的空间直角坐标系。固定杆AB的端点为A(0,0,0)、B(1,2,1)，可调杆CD的端点为C(0,0,0)、D(2,-1,t−3)，其中t为实数。若要求两杆互相垂直，应用向量法确定t的值是多少米？

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4. 无人机从地面基站O出发，两个已记录的位移向量为a=(2,0,1)米、b=(1,1,0)米。现计划到达点D，其位置向量为d=(x,3,2)米；为使O、D及两条已记录位移的终点位于同一平面，d须与a、b共面。点D的横坐标x应为多少米？

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5. 在空间直角坐标系中，二面角 α-l-β 的两个半平面 α、β 的法向量分别为 n₁=(1,0,1) 和 n₂=(1,1,0)，且从 α 内部观察，该二面角为钝角，则此二面角的大小为（　　） A. 30°　B. 60°　C. 120°　D. 150°

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6. 已知向量 a=(1,2,3)，b=(2,-1,0)，则 a·b=____；向量 a 与 b 夹角的余弦值为____。

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7. 已知空间向量a=(1，-2，2)，b=(2，1，-1)，实数t满足(a+tb)·(2a-b)=0，则t等于（　） A. -2　B. 2　C. 1　D. -1

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8. 已知正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，以点 D 为原点，DA、DC、DD₁ 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，棱长为 1。则直线 DB₁ 与直线 DC₁ 所成角的余弦值为（　　） A. 1/2　B. √2/2　C. √6/6　D. √3/3

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9. 某测绘设备发出一束直线激光，从水平地面上的点 O 射向空中目标 P。以 O 为原点建立空间直角坐标系，令地面为 xOy 平面，测得 P 的坐标为 (√3 m，0 m，1 m)。用向量法求激光束与地面的夹角为多少度？

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10. 已知向量 a、b、c 线性无关，设 p=a+b−c，q=2a−b+c。若 x、y 为实数，且 xp+yq=4a+b−c，则 x=___，y=___。

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11. 在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以点A为原点建立空间直角坐标系，使A(0,0,0)、B(1,0,0)、C(1,1,0)、D(0,1,0)、A₁(0,0,1)、C₁(1,1,1)、D₁(0,1,1)。用向量法判断，平面BDC₁的一个法向量为 A. (1,1,1)　B. (1,-1,-1)　C. (1,1,-1)　D. (-1,1,1)

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12. 已知空间向量 a=(1,2,0)，b=(0,1,2)。若 c=xa+yb（x,y∈R）且 c=(1,4,4)，则实数 x+y=____。

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13. 在某种晶体结构的三维直角坐标系中，原子位于点A(0,0,0)、B(1,1,2)、C(1,2,1)，另一个原子D位于点(t, t+1, 4)。已知向量AD、AB、AC共面，即存在实数x、y，使得AD=x·AB+y·AC成立。根据共面向量定理求出t的值是多少？

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14. 已知点 P(1，0，1) 与平面 α：x+2y+2z−6=0，则点 P 到平面 α 的距离为____。

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15. 设向量 a、b、c 不共面，向量 p=a+2b，q=b+c，r=a+4b+t c。若 p、q、r 共面，则实数 t=____。

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16. 点 P(2，−1，3) 到平面 α：2x−y+2z−5=0 的距离为（　） A. 1　B. 2　C. 3　D. 6

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17. 已知向量u=(2，-1，3)，v=(x，2，-1)，且u·v=7，则x等于（　） A. 1　B. 3　C. 6　D. -6

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18. 在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为边长为2的正方形，A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)，且A₁(0,0,h)（h>0）。用空间向量法研究垂直关系：若直线A₁C与直线BC₁互相垂直，则h=____；当h取该值时，向量n=(2, 2t, 2)（t为实数）若能作为平面A₁BC的法向量，则t=____。

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19. 在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,0)、B(2,1,1)、C(3,0,2)与点D(m, m+1, 4)。用共面向量定理判断：若向量AD、AB、AC共面，则存在实数λ、μ使得AD=λAB+μAC，求实数m的值是多少？

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20. 空间直角坐标系中，平面 α 经过 A(0,0,0)、B(1,0,0)、C(0,1,0)，直线 l 经过 P(0,0,0)、Q(1,2,2)。直线 l 与平面 α 所成角为（　） A. arcsin(2/3)　B. arccos(2/3)　C. arcsin(1/3)　D. arccos(1/3)

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21. 空间直角坐标系中，直线 l₁ 的方向向量为 (1，1，0)，直线 l₂ 的方向向量为 (1，0，1)，则 l₁ 与 l₂ 所成角的大小为____。

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22. 在直角坐标系中，点 A、B、C、D 的坐标分别为 A(0,0,0)、B(6,0,0)、C(0,4,0)、D(0,0,2)，坐标单位为米。平面 β 经过 B、C、D，则点 A 到平面 β 的距离为____米。

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23. 在空间直角坐标系中，已知点 P(1,2,3)，平面 α 的方程为 x+2y−2z+3=0（坐标单位：米）。利用空间中点到平面的距离公式，求点 P 到平面 α 的距离是多少米？

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24. 已知空间向量 a=(1,2,-1)，b=(2,-1,0)，则由向量法可判断 a 与 b 的关系是 A. a∥b　B. a⊥b　C. a 与 b 不平行且不垂直　D. 无法判断

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25. 在长方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，以点 D 为原点，DA、DC、DD₁ 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，已知 AB=2，AD=2，AA₁=3。用空间向量法求直线 AC 与 BC₁ 所成角的余弦值，则所成角的余弦值为____。

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26. 某空间巡检机器人以米为单位记录位移向量。它先沿向量 a=(3,−2,1) 移动两倍的位移，再沿向量 b=(2,0,−4) 的反方向移动其一半的位移，最后沿向量 a−c 的反方向移动，其中 c=(−1,3,2)。机器人的总位移向量是多少？

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27. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=10，BC=6。以底面中心O为原点、OB与OD方向为x轴与y轴正方向、竖直向上为z轴建立空间直角坐标系，已知A(-5,-3,0)，B(5,-3,0)，C(5,3,0)，D(-5,3,0)，顶点P(0,0,h)（h>0）。若PA⊥PB且PC⊥PD，则h=（　　） A. 3　B. 4　C. 5　D. √34

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湘教版·数学（高中）其他单元练习题

第1章集合与逻辑（27题）第1章导数及其应用（27题）第1章平面向量及其应用（27题）第1章数（27题）第2章一元二次函数、方程和不等式（9题）第2章三角恒等变换（27题）第2章平面解析几何初步（27题）第3章函数的概念与性质（27题）第3章概率（27题）第3章复数（27题）第3章圆锥曲线与方程（27题）第4章统计（18题）

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