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湘教版·数学（高中）高二上册《第1章数》练习题

共 27 道沉淀题 · AI 对照课标原创 · 三重审校答案可核对

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本单元考点（4 个）

数系扩充与复数概念复数的几何意义复数四则运算共轭复数与复数模

本单元练习题（27 题）

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1. 复数 z 对应复平面内的点 P。已知 |z|=5，且 P 的横坐标为 3、位于实轴下方，则 P 的坐标为（　） A. (3，4)　B. (3，−4)　C. (4，−3)　D. (−3，−4)

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2. 某数学兴趣小组在研究复数时构造了复数 z=(m²-7m+12)+(m²-9)i，其中 m∈R，i 为虚数单位。组长提出：若 z 的实部等于 0，且虚部不等于 0，则 z 为纯虚数。请根据复数的概念，求当 z 为纯虚数时实数 m 的值是多少？

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3. 复平面内，点 O 表示原点，点 A 的坐标为 (6,0)。点 P 位于以 O 为圆心、半径为 5 的圆上，且 P 到 A 的距离为 5；若 P 位于实轴上方，则点 P 对应的复数为 ____。

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4. 设集合 A={x|x²-2=0}，B={x|x²+1=0，x∈R}，C={x|x²+1=0，x∈C}，其中 C 表示复数集。则集合 B=____；集合 C 中元素的个数为____。

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5. 复平面内，复数 z 对应的点 P 到原点的距离为 5，P 的横坐标为 −3，且 P 位于实轴上方。点 P 的坐标是（　） A. (−3，4)　B. (−3，−4)　C. (3，4)　D. (3，−4)

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6. 复平面内，复数 z 对应的点 P 满足 |z−1|=√5、|z−5|=√5，且 P 位于实轴上方。点 P 的坐标为（　） A. (3，1)　B. (3，−1)　C. (1，1)　D. (5，1)

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7. 在雷达监测情境中，将监测平面建立为复平面：基站位于原点 O，实轴正方向为正东方向，虚轴正方向为正北方向，长度单位为千米。目标 T 对应复数 z=a+bi（a、b 均为实数），其对应点 P 位于复平面内第二象限。已知目标 T 到基站的距离为 13 千米，且 P 的纵坐标为 5。求目标 T 对应点 P 到虚轴的距离是多少千米？

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8. 在复平面内，复数 z=2+mi（m为实数）对应的点 P 位于第四象限，且 P 到实轴的距离为 3。则点 P 的坐标为（　） A. (2，3)　B. (2，−3)　C. (−2，3)　D. (−2，−3)

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9. 设 i 为虚数单位，复数 z 满足 z(2−i)+3i=z+5，则 z 的虚部为____，z·z̄（其中 z̄ 为 z 的共轭复数）等于____。

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10. 某物理实验室在记录交流电信号时，将一次采样结果表示为复数 z=(2a-1)+(a²-4)i，其中 a 为实数，i 为虚数单位。已知本次采样记录的是一个纯虚数（即实部为 0，虚部不为 0）。求实数 a 的值，并写出此时 z 的虚部是多少？

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11. 某无人机监测系统以基站为复平面原点，实轴正方向为正东方向，虚轴正方向为正北方向，复平面中每个单位长度代表500米。无人机距基站√2千米，其位置所在射线与实轴正半轴的夹角为45°。无人机对应点的坐标是多少复平面单位？

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12. 某电路分析问题中，电压信号用复数 z 表示，已知 z 满足 z·(1+i)=3+i，且另一个信号 w=(z+2i)/(2−i)。（1）求 z 的值；（2）求 w 的实部。问：w 的实部与虚部之和是多少？

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13. 复数 z 的共轭复数的虚部为 5，且 |z|²=169。若 z 的实部为正，则 z=____，|z̄|=____。

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14. 已知复数 z 满足 z·z̄ = 25，且 z − z̄ = 8i（其中 z̄ 为 z 的共轭复数），则 |z̄| 的值为（　　） A. 5　B. ±5　C. 25　D. √41

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15. 设 i 为虚数单位，复数 z = (3 + i)(1 − 2i) 的值为（　　） A. 5 − 5i　B. 5 + 5i　C. 1 − 5i　D. 5 − i

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16. 已知复数 z 的共轭复数为 z̄，且 z·z̄ = 36，z + z̄ = 6。若某物理信号的复振幅用 z 表示，其模长反映信号强度（单位：dB 基准下），求该信号对应的 |z̄| 是多少？

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17. 在复平面的向量测量问题中，某复数 z=a+bi（a,b∈R）对应的实部与虚部需通过共轭关系确定。已知 z 的共轭复数为 z̄，且满足 z+z̄=6，z−z̄=8i。若该向量的模长记为 |z̄|，则 |z̄| 的值等于多少？

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18. 设复数z满足z = 2 - 3i，则其共轭复数\bar{z} = ___，复数z的模|z| = ___。

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19. 某信号处理器用复数 z 表示一个信号的复振幅，z 的实部为 3 V，模为 5 V，且虚部为正。该信号复振幅的共轭复数及其模分别是多少？

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20. 设 i 为虚数单位，复数 z = (2 + 3i)/(1 − i) 的值为（　　） A. −1/2 + 5i/2　B. 1/2 + 5i/2　C. −1/2 − 5i/2　D. 5/2 − i/2

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21. 设 i 为虚数单位，复数 z 满足 z(1+2i)=3−i，则 z 的虚部为____，z 的共轭复数与 z 的和 z̄+z 等于____。

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22. 复数 z 在复平面内对应点 P。已知 P 到原点的距离为 5/2，且 P 位于虚轴负半轴，则 z=____。

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23. 设复数 z=a+bi（a，b∈R）满足 |z|=5、|z−z̄|=6，且 a>0、b<0，其中 z̄ 表示 z 的共轭复数，则 z̄=____，|z̄|=____。

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24. 设 x∈R，复数 z=(3x−2)+(x²−4)i。若 z 是纯虚数，则 x 的值为（　） A. −2　B. 0　C. 2/3　D. 2

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25. 设 i 为虚数单位，计算 (2−i)+(1+3i)−(4−2i)=____。

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26. 设 a∈R，i²=−1，复数 z=a+2i。若 z² 是负实数，则 a 的值为（　） A. 0　B. 1　C. −1　D. 2

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27. 某次数学建模活动中，同学们构造了一个复数 z=(a²−2a−3)+(a+1)i，其中 a∈R，i 为虚数单位。若 z 是实数，则实数 a 的值为多少？

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湘教版·数学（高中）其他单元练习题

第1章集合与逻辑（27题）第1章平面向量及其应用（27题）第1章导数及其应用（27题）第2章一元二次函数、方程和不等式（9题）第2章空间向量与立体几何（27题）第2章 三角恒等变换（27题）第2章平面解析几何初步（27题）第3章函数的概念与性质（27题）第3章概率（27题）第3章复 数（27题）第3章圆锥曲线与方程（27题）第4章统计（18题）

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