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湘教版·数学（高中）高一下册《第2章 三角恒等变换》练习题

共 27 道沉淀题 · AI 对照课标原创 · 三重审校答案可核对

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本单元考点（4 个）

两角和与差的三角公式二倍角公式简单的三角恒等变换半角公式及其应用

本单元练习题（27 题）

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1. 已知 sinα+cosα = 1/5，且 α∈(π/2, π)，则 sin2α 的值为（　　） A. -24/25　B. 24/25　C. -7/25　D. 7/25

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2. 某光照方向传感器的归一化读数为 C＝cos2θ，其中 θ 为传感器与光线方向的夹角。一次测量中，sin²θ＝30%，则传感器的读数 C 是百分之几？

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3. 圆形花坛的半径为 4 m，圆心角 θ 满足 0＜θ＜π 且 cosθ＝7/25。连接该圆心角两边与圆的交点，所得弦长是多少米？

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4. 一个半径为 10 厘米的圆形工件中，弦 AB 所对的圆心角 α 为锐角，且满足 cosα = 7/25。加工时需要确定弦 AB 的弦心距（即圆心到弦 AB 的距离）。利用半角公式求出 cos(α/2) 的值，则该弦心距是多少厘米？

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5. 已知角 α、β 均为锐角，且 sin(α−β)=1/2，sinαsinβ=1/4，则 cosαcosβ = ____。

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6. 一副折叠支架由两根长均为5 m的杆组成，两杆在铰接点处的夹角为θ，且0＜θ＜π、cosθ＝−7/25。两杆末端之间的距离是多少米？

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7. 某旋转平台的转角为 α，控制器将校准参数定义为转角加倍后的余弦值。一次校准测得 cosα=3/5，控制器显示的校准参数是多少？

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8. 某交流信号的电压（单位：伏）随时间变化满足 u(t)=6sin t·cos t+8cos²t−4，其中 t 为某中间变量角。一名检修员不需要逐点测量，只需利用三角恒等变换将 u(t) 化为一个形如 A sin(ωt+φ) 的单一正弦型函数，就能直接读出电压的最大值。请你完成这个化简，并求出该信号电压的最大值是多少伏？

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9. 锐角 α、β 满足 sin(α+β)=4/5，cos(α+β)=3/5，且 sinαsinβ=1/5，则 sin(α−β)=____。

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10. 已知角 x 满足 sin x−cos x=1/3，则 sin x cos x=____，(sin x+cos x)²=____。

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11. 一套可调支架的两根支杆等长，均为26 cm，夹角为θ，且0＜θ＜π、cosθ＝119/169。两根支杆末端在角平分线两侧对称分布，末端连线垂直于角平分线。两末端之间的距离是多少厘米？

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12. 某旋转检测器的转角 α 位于第二象限，且 sinα=3/5。检测器将读数定义为 cos2α−sin2α，单位为标定单位。此时检测器的读数是多少标定单位？

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13. 设角α、β满足sin(α+β)=3/5，cos(α+β)=4/5，且α−β为锐角、tan(α−β)=3/4，则sin2α的值为（　） A. 7/25　B. 24/25　C. 33/25　D. 1/25

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14. 已知角 x 满足 tan x = 3，利用二倍角公式化简求值：sin2x/(1+cos2x) =（　） A. 3　B. 1/3　C. 3/2　D. 1/2

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15. 已知 sinα = 3/5，且 α 为第二象限角，则 sin2α 的值为（　　） A. 24/25　B. -24/25　C. 12/25　D. -12/25

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16. 化简：1−2sin²x＝____。

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17. 已知角 x 满足 0<x<π/2，则式子 $\frac{2\cos^2 x-1}{2\sin x\cos x}$ 的值等于（　） A. tan x　B. cot x　C. −tan x　D. −cot x

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18. 已知角 α 为第二象限角，且 cosα = -5/13，则 sin2α = ____，cos2α = ____。

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19. 已知角 α∈(π/2，π)，且 sinα−cosα=4/3，则 sin2α=____。

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20. 已知角 α∈(0,π)，且 cosα＝3/5，则 sin(α/2)＝____，cos(α/2)＝____。

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21. 已知 cosθ=√3/2，则 cos2θ 的值为（　　） A. 1/2　B. √3/2　C. -1/2　D. 1

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22. 已知角 α∈(0, π/4)，且 cos2α = 7/9，则 sinα 的值为（　　） A. 1/3　B. 2/3　C. √2/3　D. -1/3

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23. 已知 tanα=1/2，tanβ=1/3，且 α、β 均为锐角，则 tan(α+β)=____；tan(α−β)=____。

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24. 已知 tanα = 1/2，则 tan2α 的值为（　　） A. 3/4　B. 4/3　C. 1/3　D. 4/5

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25. 已知角 θ∈(0,π)，且 cosθ＝1/7，则 sin(θ/2)＝____。

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26. 化简：cos²x−sin²x。 A. sin 2x　B. cos 2x　C. −cos 2x　D. 1

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27. 某液压机械臂在一次调试中，摆臂与水平方向所成锐角为 α。传感器测得 sinα = 5/13。工程师需要将摆臂角加倍后的正弦值 sin2α 作为控制参数录入系统。请直接运用二倍角公式，求 sin2α 的值是多少？

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