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湘教版·数学（高中）高一下册《第1章平面向量及其应用》练习题

共 27 道沉淀题 · AI 对照课标原创 · 三重审校答案可核对

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本单元考点（5 个）

平面向量的概念与线性运算平面向量的数量积平面向量基本定理与坐标表示向量的应用（解三角形）余弦定理与正弦定理

本单元练习题（27 题）

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1. 平面上以向东、向北为正方向建立坐标系。一辆无人车先向东行驶3米、向北行驶2米，随后向西行驶1米、向北行驶4米。用有序数对表示无人车的合位移向量（单位：米），其结果是什么？

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2. 某物体在两个恒力 F₁=(3,4) 与 F₂=(6,-2)（单位：牛）的共同作用下，沿直线发生位移 s=(5,1)（单位：米）。若功等于合力与位移的数量积，求这两个力共同对该物体做的总功是多少焦耳？

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3. 小明在水平地面上沿直线拖动一个行李箱，拖动过程中施加的恒力 F=(4,3)（单位：牛），行李箱发生的位移 s=(10,0)（单位：米）。已知恒力做的功等于力与位移的数量积，问该恒力对行李箱做的功是多少焦耳？

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4. 某三角形地块的三条边长分别为5米、12米和13米。测绘人员将边长为13米的一边所对的角记为C，将边长为5米的一边所对的角记为A。求sin A的值？

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5. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c。已知 a=3，b=5，cosC=-1/2，则△ABC中最大的内角为（　　） A. 60°　B. 90°　C. 120°　D. 135°

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6. 仓储机器人先向东偏北移动，位移向量为 a=(4,3) 米，随后位移向量为 b=(2,6) 米。仓库通道的前进方向对应单位向量 u=(3/5,4/5)。若机器人沿通道方向的有向进度等于总位移与 u 的数量积，则其有向进度是多少米？

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7. 一名巡检员先沿一条直路向东行走9 km，再沿与第一段道路垂直的直路行走12 km。用向量表示两段位移，求巡检员此时与出发点的距离是多少？

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8. 一艘无人测绘艇先从港口沿向量 u 航行 5 km，再沿向量 v 航行 8 km，且 u 与 v 的夹角为 120°。艇的总位移大小为 ____ km，总位移与第一段位移夹角的余弦为 ____。

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9. 已知非零向量a、b满足|a|=3，|b|=4，且a·b=-6，则a与b夹角的余弦值为（　　） A. 1/2　B. -1/3　C. -1/2　D. -2/3

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10. 在△ABC中，已知a=2，∠A=30°，∠B=45°，则边b=___。

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11. 已知向量 a、b 满足 |a|=3，|b|=4，且 |a−b|=√7，则 a·b=____。

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12. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c。已知 a=5，b=8，角C=60°，则 sin A 的值为（　　） A. 5√3/14　B. 3√3/14　C. 5√3/7　D. √3/2

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13. 在△ABC中，已知 a=3，b=5，cosC=3/5，则边 c 的长为（　　） A. √34　B. 2√7　C. 4　D. 16

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14. 一辆检修车沿水平直轨道匀速移动，轨道对车的摩擦力始终与位移方向相反。检修车移动了 0.5 km，摩擦力做功为 −90 kJ，则摩擦力的大小是多少？

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15. 一艘测量船先沿向量 a 的方向航行 5 km，再沿向量 b 的方向航行 3 km，已知 a 与 b 的夹角为 60°。若直接连接出发点与最终位置，则两点间的距离为____ km。

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16. 在平面直角坐标系中，已知向量 a=(1,2)，b=(-1,3)。若向量 c=(x,y) 满足 2a - b + c = 0，则 x=____，y=____。

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17. 已知向量 a=(2,1)，b=(-1,3)，则 a·b=____；|a+2b|=____。

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18. 已知向量 a 与 b 满足 a+2b=(3,4)，a−b=(0,1)，则向量 a 等于（　　） A. (1,2)　B. (2,1)　C. (1,-2)　D. (-1,2)

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19. 已知向量 a=(2,1)，b=(1,-1)。若向量 c=(8,1) 可以表示为 c=λa+μb（λ,μ 为实数），则 λ+μ=____；此时向量 a+b 的坐标为____。

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20. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c。已知b=5，c=7，cosA=1/7。利用余弦定理与正弦定理，求sinB。（　　） A. 5√3/14　B. 5√3/7　C. 5/14　D. 5√3/16

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21. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=7，b=5，c=8。则cos C=____，sin A=____。

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22. 某测绘无人机以向东、向北为平面直角坐标系的正方向。已知巡测向量a=(4,-1)米、b=(-2,3)米，待补航段的位移向量为p。调度记录表明，2p−a+3b=(-8,14)米，则p的坐标是什么？

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23. 一台巡检机器人从同一位置出发，规划了两段平面位移，其位移向量分别为 a、b，长度分别为 6 m 和 10 m，且 a·b=30 m²。两段位移的夹角是多少度？

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24. 一台地面机器人先沿向量 a 行进 4 m，再沿向量 b 行进 6 m，已知 a 与 b 的夹角为 120°。机器人最终位置与出发点的距离为多少？ A. 2√7 m　B. 2 m　C. 2√19 m　D. 10 m

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25. 已知向量 a=(3,1)，b=(2,-1)。若向量 c=(8,6) 可以表示为 c=λa+μb（λ,μ 为实数），则 λμ 的值为 A. 8　B. 2　C. -8　D. -2

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26. 已知非零平面向量 a, b 满足 a+b=(4,3)，a−2b=(1,0)。由前式得 a=(4,3)−b，代入后式可解出 b，进而求 a。则向量 2a−3b 等于（　　） A. (3,1)　B. (1,3)　C. (5,5)　D. (3,-1)

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27. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c。已知a=6，b=10，C=120°，则由余弦定理可得c=____；进而可得cos B=____。

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湘教版·数学（高中）其他单元练习题

第1章集合与逻辑（27题）第1章导数及其应用（27题）第1章数（27题）第2章一元二次函数、方程和不等式（9题）第2章空间向量与立体几何（27题）第2章 三角恒等变换（27题）第2章平面解析几何初步（27题）第3章函数的概念与性质（27题）第3章概率（27题）第3章复 数（27题）第3章圆锥曲线与方程（27题）第4章统计（18题）

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