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湘教版·数学（高中）高一下册《第3章复 数》练习题

共 27 道沉淀题 · AI 对照课标原创 · 三重审校答案可核对

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本单元考点（4 个）

复数的概念与几何意义复数的四则运算共轭复数与复数的模复数三角形式及乘除运算

本单元练习题（27 题）

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1. 已知 z̄ 为复数 z 的共轭复数，且 z + z̄ = 6，|z| = 5，则 z·z̄ 的值为（　　） A. 6　B. 10　C. 25　D. 36

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2. 已知复数 z₁=2(cos60°+isin60°) 与 z₂=√2(cos15°+isin15°)，在信号旋转模型中，某点的位置可用复数 w=z₁/z₂ 表示，其中 w 的模表示该点到原点的距离，辐角主值表示该点相对原点的方向角。求 w 对应的点到原点的距离，并求出该点对应的复数 w 的代数形式（单位：复平面长度单位）？

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3. 在交流电分析中，某电压信号用复数表示。已知第一级放大后信号为 z₁=2(cos45°+i·sin45°)，第二级移相后信号为 z₂=√2(cos15°+i·sin15°)。将两级信号相乘，得到合成信号 w=z₁×z₂，求合成信号 w 的模与辐角，并用三角形式表示 w 是多少？

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4. 已知复数 z 满足 |z|=√61，且 z+z̄=−10，其中 z̄ 为 z 的共轭复数，则 |z̄|=____，|z−z̄|=____。

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5. 某信号处理设备将输入信号复数乘以增益因子 1−i，得到输出信号 4+2i mV。若输入信号记为 z mV，求 z？

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6. 已知复数 z=a+bi（a,b∈R）的虚部为 -3，其共轭复数为 z̄。若 |z+z̄|=8，则 z·z̄ 的值为（　　） A. 16　B. 25　C. 49　D. 64

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7. 某信号处理器将复数电压读数 (3+2i) 伏先减去校准量 (1−i) 伏，再乘以无量纲增益 1+i，其中 i²=−1。处理后的复数电压是多少？

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8. 某通信接收模块对一段复数形式的信号幅度进行三级处理：初始读数为 (2+3i) mV（其中 i 为虚数单位），先乘以系数 (1−i)，再将结果除以 (1+i)，得到最终输出信号。请通过列式计算求出最终输出信号的复数值（单位：mV）是多少？

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9. 在信号合成实验中，某仪器记录到两个复数形式的信号分量 z₁=2(cos30°+i·sin30°) 与 z₂=3(cos60°+i·sin60°)，其中角度单位为度。合成信号 w 等于 z₁ 与 z₂ 的乘积。请计算 w 的三角形式，并求合成信号的模长（单位：伏特）。合成信号模长是多少伏特？

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10. 某实验室的复数信号电流读数为 (4−2i) mA，校准时叠加 (1+3i) mA 的修正量，随后将所得读数除以复数系数 1−i，其中 i²=−1。校准后的信号电流是多少？

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11. 计算 (2−i)+(3+i) = ____。

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12. 已知复数 z=3+(m-2)i（m∈R，i 为虚数单位），下列说法正确的是（　　） A. 当 m=2 时，z 为实数　B. 当 m=3 时，z 为纯虚数　C. z 在复平面内对应的点位于第二象限　D. z 的虚部为 (m-2)i

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13. 设 z₁=3(cos(2π/3)+i sin(2π/3))，z₂=2(cos(π/6)+i sin(π/6))，z₃=3(cos(π/2)+i sin(π/2))，则 z₁z₂/z₃ 的代数形式为（　） A. 1+√3i　B. -1+√3i　C. 1-√3i　D. √3+i

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14. 复平面内，点P对应复数z。已知P在虚轴上，到原点的距离为5，且位于实轴下方。则z的实部为____，虚部为____。

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15. 已知复数 z 满足 |z|²=3，且 z+‾z=2，其中 ‾z 为 z 的共轭复数。则 |z+2|²=____，|z-2|²=____。

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16. 复数 z 的实部为 4，虚部为 −1，则 z 在复平面内对应点的坐标为____，该点位于第____象限。

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17. 已知复数 z = 3 + ai（a > 0），其共轭复数为 z̄。若 z·z̄ = 25，则实数 a 的值为____，|z̄| 的值为____。

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18. 复平面内，复数 z 对应的点为 P(−3/2，2)。点 P 关于实轴的对称点所对应的复数，其实部与虚部分别为（　　） A. −3/2，−2　B. 3/2，2　C. 3/2，−2　D. −2，−3/2

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19. 设复数 z 满足 |z|=5，且 |z−z̄|=6，其中 z̄ 是 z 的共轭复数，则 |z̄|=____，|z+z̄|=____。

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20. 计算复数 $\dfrac{(1+i)^2+(2-i)(1+i)}{1-i}$，所得结果是（　） A. 3i　B. 3　C. 3+3i　D. −3i

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21. 在复平面对应的运算问题中，已知复数 z 满足 z×(1+i)=3+i（其中 i 为虚数单位）。某电路信号分析模型将该复数记为 z=a+bi（a、b 为实数）。请通过复数除法运算求出 z，并写出 z 的虚部是多少？

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22. 计算复数 (2+i)(1−i) = ____。

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23. 设复数 z 的实部为 3，z̄ 为 z 的共轭复数，且 |z̄−3|=4，则 |z|=____，|z̄|=____。

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24. 已知复数 z 的共轭复数为 z̄，且 z̄ 到原点的距离的平方为 49/4，则 |z| 等于（　　） A. 7/2　B. 49/4　C. −7/2　D. 7/4

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25. 复数 z 的实部为 3，虚部为 −4。其共轭复数的实部、虚部及 z 的模分别为（　　） A. 3，−4，5　B. 3，4，7　C. 3，4，5　D. −3，4，5

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26. 在复平面内，复数 z = a + bi（a，b∈R）对应的点 Z(−2，√5)。因为点 Z 到原点的距离就是该复数的模 |z|，请你直接根据复数的几何意义写出点 Z 的坐标所对应的复数 z，并求 |z| 的值是多少？

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27. 复平面内，下列哪一个点对应的复数是纯虚数？ A. (0，3)　B. (2，0)　C. (1，1)　D. (0，0)

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湘教版·数学（高中）其他单元练习题

第1章集合与逻辑（27题）第1章平面向量及其应用（27题）第1章导数及其应用（27题）第1章数（27题）第2章一元二次函数、方程和不等式（9题）第2章空间向量与立体几何（27题）第2章 三角恒等变换（27题）第2章平面解析几何初步（27题）第3章函数的概念与性质（27题）第3章概率（27题）第3章圆锥曲线与方程（27题）第4章统计（18题）

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