大学随机过程上册《鞅》练习题

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本单元考点（4 个）

鞅的定义与基本例子停时与可选停时定理杜布分解定理鞅收敛定理

本单元练习题（27 题）

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1. 设 {Sₙ} 为简单对称随机游动（S₀=0，每步以概率 1/2 取 ±1），{Fₙ} 为其自然 σ-代数。已知 {Xₙ}（Xₙ=2Sₙ²+3n）关于 {Fₙ} 是下鞅，按杜布分解定理可唯一写成 Xₙ=Mₙ+Aₙ，其中 {Mₙ} 是鞅且 A₀=0、{Aₙ} 是可料递增过程。则 A₅ 等于多少？ A. 10 B. 13 C. 25 D. 5

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2. 设简单对称随机游动 Sₙ = X₁+⋯+Xₙ（S₀=0，P(Xᵢ=1)=P(Xᵢ=-1)=1/2），则 {Sₙ} 是鞅。令停时 T = min{n ≥ 1 : |Sₙ| = 3}，且已知 P(T<∞)=1。由鞅性质及 |S_T|=3 与 E[S_T]=0 可得 P(S_T=3)=____；再由 E[Sₙ²]−n 为鞅并结合可选停时定理，可得 E[T]=____。

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3. 设 X₁,X₂,… 独立同分布，P(Xᵢ=2)=1/2，P(Xᵢ=0)=1/2，令 Mₙ=X₁X₂…Xₙ（约定 M₀=1）。由于各因子非负且 E[Xᵢ]=1，{Mₙ} 是关于自然 filtration 的非负鞅，故由鞅收敛定理，Mₙ 几乎处处收敛到某随机变量 M∞，且 E[Mₙ]=____。另一方面，因为每个因子以概率 1/2 取 0，对任意 n≥1 有 P(Mₙ=0)≥1/2，且 E[log X₁]=−∞，可证 M∞=0 几乎处处成立，故 E[M∞]=____。此例说明非负鞅的几乎处处收敛一般____（填「能」或「不能」）推出 L¹ 收敛。

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4. 设简单对称随机游动 Sₙ = X₁+⋯+Xₙ（S₀=0，P(Xᵢ=1)=P(Xᵢ=−1)=1/2），令 Mₙ = Sₙ² − n。取停时 T = min{n ≥ 1 : |Sₙ| = 3}。已知 T < ∞ 几乎必然，且 {|Mₙ∧T|} 一致可积。试用可选停时定理求 E[T]。

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5. 设赌徒每局以概率 p=2/3 赢 1 元，概率 q=1/3 输 1 元，各局独立。设 Sₙ 为 n 局后的累计盈亏（S₀=0），令 Mₙ=(q/p)^{Sₙ}=(1/2)^{Sₙ}。验证 {Mₙ} 是关于自然 filtration 的鞅。赌徒设定停时 T=min{n≥0: Sₙ=3 或 Sₙ=−3}。试用可选停时定理求 T<∞ 时赌徒先到达 +3 的概率 π。

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6. 设 X₁,X₂,… 独立同分布，P(Xᵢ=2)=1/3，P(Xᵢ=1/2)=2/3，令 Mₙ=X₁X₂…Xₙ（约定 M₀=1），{Mₙ} 关于自然 σ-域流是鞅且 E[Mₙ]=1。由鞅收敛定理，Mₙ 几乎必然收敛到某个极限 M∞。提示：对 ln Mₙ = ∑ln Xᵢ 用强大数定律，可得 lim(n→∞) (1/n)ln Mₙ = E[ln X₁] < 0。据此，M∞ = ____。

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7. 设 {Mₙ, n≥0} 是关于 {Fₙ} 的鞅，T 是关于 {Fₙ} 的停时。下列关于停时与可选停时定理的叙述正确的是：A. 对任意停时 T，必有 E[M_T]=E[M₀]　B. 若 T 是有界停时（T≤N 某常数 N），则 E[M_{T∧N}]=E[M₀]　C. 停时 T 的取值必须是确定性的常数　D. 鞅在任何停时处停止后期望一定增大

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8. 设 ξ₁,ξ₂,… 独立同分布，P(ξᵢ=1)=P(ξᵢ=−1)=1/2，令 Sₙ=ξ₁+…+ξₙ，Fₙ=σ(ξ₁,…,ξₙ)。已知 Xₙ=Sₙ²+3Sₙ+n 关于滤流 {Fₙ} 是下鞅。按杜布分解定理将 Xₙ 写成 Xₙ=Mₙ+Aₙ，其中 Mₙ 是鞅、Aₙ 是零初值可料递增序列，则 A₃ 等于（　） A. 3　B. 6　C. 9　D. 12

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9. 设 {ξₙ, n≥1} 为独立同分布随机变量序列，E|ξ₁|<∞，Eξ₁=μ。令 Sₙ=ξ₁+…+ξₙ，Fₙ=σ(ξ₁,…,ξₙ)。定义 Mₙ=Sₙ−nμ（约定 M₀=0）。(1) 写出鞅的定义；(2) 验证 E|Mₙ|<∞；(3) 验证对一切 n≥0，E[Mₙ₊₁|Fₙ]=Mₙ，从而 {Mₙ} 关于 {Fₙ} 是鞅。

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10. 设 ξ₁, ξ₂, … 为独立同分布随机变量，P(ξᵢ=1)=P(ξᵢ=−1)=1/2，记 Sₙ=ξ₁+…+ξₙ，Fₙ=σ(ξ₁,…,ξₙ)。设常数 a 使得 Mₙ=Sₙ²−an 构成关于 {Fₙ} 的鞅（即 E[Mₙ₊₁|Fₙ]=Mₙ 对一切 n 成立）。(1) 求 a 的值；(2) 求 E[Mₙ]。

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11. 设简单对称随机游动 Sₙ = X₁+⋯+Xₙ（S₀=0，P(Xᵢ=1)=P(Xᵢ=-1)=1/2），令 Mₙ = Sₙ² − n，停时 T = min{n ≥ 1 : |Sₙ| = 3}。(1) 验证 {Mₙ} 关于自然 σ-域 filtration {Fₙ} 是鞅；(2) 判断可选停时定理的条件是否满足，并说明理由；(3) 利用 E[M_T] = M₀ 计算 E[T]。

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12. 设 {Xₙ, n≥0} 为适应于滤流 {Fₙ} 的下鞅，且 X₀=0，E[Xₙ]<∞。由杜布分解定理，存在可料递增过程 {Aₙ} 使得 A₀=0，且 {Xₙ−Aₙ, n≥0} 为鞅。若已知 Xₙ 的条件期望满足 E[Xₙ | F_{n−1}] = X_{n−1} + 2，则 Aₙ − A_{n−1} = ____。

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13. 设 {Mₙ} 是关于 {Fₙ} 的非负鞅，且 sup E[Mₙ] = 4。由鞅收敛定理，Mₙ 几乎必然收敛到一个极限 M∞，此时 E[M∞] ____ 4（填“>”“=”或“≤”）。

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14. 设 {Mₙ} 是关于 {Fₙ} 的鞅，且 sup E[Mₙ²] ≤ 25。由 L² 有界鞅的收敛定理，存在随机变量 M∞ 使得 Mₙ 几乎必然收敛于 M∞，同时均方收敛，即 E[(Mₙ−M∞)²] 收敛到 ____。

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15. 设 {ξₙ, n≥1} 为相互独立的随机变量序列，具有相同的分布：P(ξₙ=2)=1/3，P(ξₙ=1/2)=2/3。记 Fₙ=σ(ξ₁,…,ξₙ)，定义 Mₙ=ξ₁ξ₂…ξₙ（约定 M₀=1）。(1) 求 Eξₙ 与 Eξₙ²；(2) 证明 {Mₙ, Fₙ, n≥0} 是鞅（即验证 Mₙ 可积、Fₙ 可测且 E[Mₙ₊₁|Fₙ]=Mₙ）；(3) 计算 E Mₙ 与 E M₃²。

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16. 设 {Mₙ, n≥0} 为关于滤流 {Fₙ} 的鞅，且 E|Mₙ|<∞ 对每个 n 成立。下列哪个条件可直接由鞅的定义得到？A. E[Mₙ | Fₙ₋₁] = Mₙ₋₁ 对一切 n≥1 成立　B. E[Mₙ²] = E[M₀²] 对一切 n 成立　C. Mₙ 几乎必然收敛　D. E[Mₙ] = 0 对一切 n 成立当且仅当 M₀=0

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17. 设 X₁,X₂,… 独立同分布，P(Xᵢ=3)=1/2，P(Xᵢ=0)=1/2，令 Mₙ=X₁X₂…Xₙ（约定 M₀=1），{Mₙ} 关于自然 σ-域流是鞅。虽然 sup E[Mₙ]=∞、鞅不满足 L¹ 有界条件，但由独立重复试验中 Xᵢ=0 几乎必然发生无穷多次可知 Mₙ 几乎必然收敛，其极限 M∞ = ____。

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18. 设 {Mₙ} 为关于 {Fₙ} 的鞅，已知 supₙ E[|Mₙ|] < ∞，且 Mₙ 依概率收敛于某个随机变量 M∞。根据鞅收敛定理的正确表述，下列结论中必然成立的是： A. Mₙ 几乎必然收敛于 M∞，但 E[|M∞|] < ∞ 不一定成立 B. Mₙ 几乎必然收敛于 M∞，且 E[|M∞|] ≤ lim E[|Mₙ|] < ∞ C. Mₙ 必为非负鞅，故 M∞ ≥ 0 几乎必然成立 D. Mₙ 几乎必然收敛于 0，且 E[M∞] = 0

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19. 设 {ξₙ, n≥1} 为独立随机变量序列，其中 P(ξₙ=2)=1/3，P(ξₙ=−1)=2/3。记 Sₙ=ξ₁+…+ξₙ，Fₙ=σ(ξ₁,…,ξₙ)，定义 Mₙ=Sₙ−nEξ₁（约定 M₀=0）。请验证 {Mₙ, Fₙ, n≥0} 是鞅，并计算 E[Mₙ]。

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20. 设 {Mₙ, n≥0} 是关于 {Fₙ} 的鞅，M₀=0，且 E[|Mₙ|]<∞ 对每个 n 成立。设 T 为关于 {Fₙ} 的有界停时（存在常数 N 使 T≤N a.s.）。由鞅性质，对每个 n≥0 有 E[Mₙ]=____；由可选停时定理，M_T 的数学期望 E[M_T]=____。

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21. 设 ξ₁,ξ₂,… 独立同分布，P(ξᵢ=1)=2/3，P(ξᵢ=0)=1/3，令 Sₙ=ξ₁+…+ξₙ，Fₙ=σ(ξ₁,…,ξₙ)，已知 {Sₙ, n≥0} 关于 {Fₙ} 是下鞅。由杜布分解定理，存在可料递增过程 {Aₙ}（A₀=0）使 {Sₙ−Aₙ} 关于 {Fₙ} 为鞅。则 Aₙ 应为（n≥1）： A. Aₙ=n/3 B. Aₙ=n/2 C. Aₙ=2n/3 D. Aₙ=n

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22. 设简单对称随机游动 Sₙ = X₁+⋯+Xₙ（S₀=0，P(Xᵢ=1)=P(Xᵢ=−1)=1/2，各 Xᵢ 相互独立），则 {Sₙ, n≥0} 关于 {Fₙ}（Fₙ=σ(X₁,…,Xₙ)）是鞅。令 T = min{n ≥ 1 : |Sₙ| = 3}，再令 τ = T ∧ 20（即 τ = min{T, 20}）。（1）验证 τ 是关于 {Fₙ} 的停时；（2）利用可选停时定理计算 E[S_τ]。

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23. 设 {Xₙ, n≥0} 是关于 {Fₙ} 的下鞅，且 E[Xₙ]<∞ 对每个 n 成立。根据杜布分解定理，可将 Xₙ 分解为 Xₙ=Mₙ+Aₙ，其中下列结论正确的是：A. {Mₙ} 是鞅，{Aₙ} 是可料递增过程且 A₀=0　B. {Mₙ} 是下鞅，{Aₙ} 是可料递减过程且 A₀=0　C. {Mₙ} 是鞅，{Aₙ} 是任意适应过程且 A₀=0　D. {Mₙ} 是鞅，{Aₙ} 是可料递增过程且 A₀ 可取任意实数

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24. 设 ξ₁, ξ₂, … 为相互独立的随机变量序列，分布为 P(ξₙ=3)=1/2，P(ξₙ=1)=1/2（n≥1）。令 Fₙ=σ(ξ₁,…,ξₙ)，F₀ 为平凡 σ-域，并定义 Mₙ=cⁿ·ξ₁ξ₂…ξₙ（n≥0，约定 M₀=1），其中 c 为待定正常数。(1) 求 c 的值，使得 {Mₙ, n≥0} 关于滤流 {Fₙ} 是鞅；(2) 对该 c 值，直接由鞅的定义计算 E M₃ 的值。

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25. 设 {Mₙ} 是关于 {Fₙ} 的非负鞅，M₀ 为常数。由鞅收敛定理，Mₙ 几乎必然收敛到某随机变量 M∞。试判断下列结论中必然成立的是哪一个。 A. E[M∞] = M₀ 且 Mₙ 依 L¹ 收敛于 M∞ B. E[M∞] ≤ M₀，但 Mₙ 未必依 L¹ 收敛于 M∞ C. E[M∞] ≥ M₀ D. Mₙ 几乎必然收敛到常数 M₀

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26. 设 {ξₙ, n≥1} 为独立同分布随机变量，P(ξₙ=1)=2/3，P(ξₙ=−1)=1/3。记 Sₙ=ξ₁+…+ξₙ，Fₙ=σ(ξ₁,…,ξₙ)，约定 S₀=0。下列哪一项是关于 {Fₙ} 的鞅？ A. Mₙ=Sₙ B. Mₙ=Sₙ−n/3 C. Mₙ=Sₙ²−n D. Mₙ=Sₙ²−4n/3

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27. 设 ξ₁,…,ξ₅ 相互独立，且 P(ξₖ=1)=2/5、P(ξₖ=0)=3/5。令 Fₙ=σ(ξ₁,…,ξₙ)，X₀=0，Xₙ=∑ₖ₌₁ⁿ(1+ξₖ)，其中 1≤n≤5。按杜布分解定理写成 Xₙ=Mₙ+Aₙ，且 A₀=0、Aₙ−Aₙ₋₁ 为 Fₙ₋₁ 可测。则 A₅=____。

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