大学随机过程上册《更新过程》练习题

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本单元考点（4 个）

更新过程定义与计数函数更新函数与更新方程更新定理及其应用剩余寿命与年龄过程

本单元练习题（27 题）

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1. 某灯泡按更新过程更换，每次更换后灯泡寿命恰为4小时。设刚在时刻0安装了新灯泡，此后一旦烧坏立即更换。则在时刻 t=6 小时观察时，当前灯泡已使用的时间（年龄过程 A(6)）为____小时，距下次更换的剩余寿命 γ(6) 为____小时。

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2. 设某元件的寿命服从参数 λ=1/2 的指数分布，{N(t), t≥0} 为对应的更新过程，m(t)=E[N(t)] 为更新函数。若已知该元件的平均寿命为 2（单位：小时），则在区间 [0, 10]（单位：小时）内期望的更新次数 m(10) 等于多少？ A. 2 B. 4 C. 5 D. 10

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3. 设 {N(t), t≥0} 为更新过程，更新间隔 X₁, X₂, … 独立同分布，且 P(X=3)=0.6，P(X=4)=0.4。记 Sₙ = X₁+…+Xₙ 为第 n 个更新时刻，N(t) 表示 (0, t] 内的更新次数。取 t=9：（1）求 P(N(9)=2)；（2）求 P(N(9)≥3)；（3）求 E[N(9)]。

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4. 设某电子元件的相继寿命 X₁,X₂,… 独立同分布，均在区间 [0,2] 上服从均匀分布，以 N(t) 表示到时刻 t 为止的更新次数，m(t)=E[N(t)] 为更新函数。由更新方程对寿命密度求导可得更新密度 r(t)=m'(t) 满足 r(t)=1/2+∫₀ᵗ (1/2)r(s)ds，且 m(0)=0。据此解得 m(t)=e^(t/2)−1，则 m(2)=____。

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5. 某工厂一台机器连续工作，损坏后立即更换，更换间隔时间 X（单位：小时）相互独立同分布，密度为 f(x)=x·e^(-x)（x>0）。每次更换一台机器的费用为 120 元。设长期运行，试用更新定理求每天（24 小时）平均更换费用的期望值。

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6. 设某传感器的相继使用寿命 X₁,X₂,… 独立同分布，均在区间 [2,4] 上服从均匀分布，{N(t), t≥0} 为对应的更新过程，m(t)=E[N(t)] 为更新函数。则该传感器的平均寿命 μ=____；由关键更新定理，极限 lim(t→∞) [m(t) − t/μ] = ____。

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7. 设 {N(t), t≥0} 为更新过程，更新间隔 X₁, X₂, … 独立同分布，P(X=2)=0.4，P(X=3)=0.6，第 n 个更新时刻 Sₙ=X₁+…+Xₙ。则 P(N(7)≤2)=____。

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8. 设 {N(t), t≥0} 为更新过程，更新间隔 X₁, X₂, … 独立同分布且每个 Xᵢ 恒等于 3（退化分布）。记 A(t) 为时刻 t 的年龄（即 t 与最近一次更新时刻之差），γ(t) 为时刻 t 的剩余寿命（即从 t 到下一次更新所需的时间）。若在时刻 t=10 观察当前更新周期，则 (A(10), γ(10)) 等于（　） A. (1, 2) B. (2, 1) C. (0, 3) D. (3, 0)

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9. 设某系统相继检修间隔 X₁,X₂,… 独立同分布，X 取值 1 或 2，概率各为 1/2，检修完成后立即重新开始，{N(t), t≥0} 为对应的更新过程，m(t)=E[N(t)] 为更新函数。（1）写出 m(t) 满足的更新方程；（2）利用该方程逐段计算 m(1)、m(2)、m(3)。

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10. 设 {N(t), t≥0} 是更新过程，其计数函数满足：对任意时刻 t，N(t) 表示区间 (0, t] 内发生的更新次数。已知某设备依次更换电池，第 n 块电池的寿命 Xₙ 相互独立且同分布，每次更换电池视为一次更新。若到时刻 t 为止恰好更换了 3 次电池，则关于 N(t) 下列说法正确的是（　）。A. N(t)=3　B. N(t)≥3　C. N(t)≤2　D. N(t) 的值无法确定

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11. 设 {N(t), t≥0} 是强度为 λ 的泊松过程，其更新间隔服从均值为 1/λ 的指数分布。记 γ(t) 为 t 时刻的剩余寿命（即从 t 到下一次更新所需的时间）。由更新定理，对任意 x≥0，极限 lim(t→∞) P(γ(t) ≤ x) = ____（用 λ 和 x 表示）。

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12. 设更新过程 {N(t), t≥0} 的间距 X₁, X₂, … 独立同分布，X₁ 的分布为 P(X=1)=1/4，P(X=2)=3/4。记 m(t)=E[N(t)] 为更新函数。由更新方程可得 m(t) 满足 m(t)=F(t)+∫₀ᵗ m(t−x)dF(x)。已知 t 时刻 N(t) 仅可能取值 0,1,2,…。求 lim(t→∞) m(t)/t，即更新率。　A. 2/5　B. 4/7　C. 1/2　D. 3/7

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13. 设更新过程中到达间隔时间 X 服从区间 (1,3) 上的均匀分布，m(t) 为更新函数。由更新定理，lim(t→∞) [m(t) − t/2] = ____。

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14. 设 {N(t), t≥0} 是更新过程，更新间隔 X₁, X₂, … 独立同分布且服从参数 λ=1/2 的指数分布（均值为 2）。记 γ(t) 为时刻 t 的剩余寿命（即从 t 到下一次更新所需的时间）。求极限 lim(t→∞) P(γ(t) > x)，其中 x ≥ 0。

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15. 设 {N(t), t≥0} 为更新过程，更新间隔 X 的分布为混合分布：以概率 1/2 服从参数为 1 的指数分布，以概率 1/2 服从区间 [1,3] 上的均匀分布。（1）求 E[X]；（2）求 lim(t→∞) m(t)/t，其中 m(t)=E[N(t)] 为更新函数；（3）求 lim(t→∞) N(t)/t（几乎处处意义下）。

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16. 设 {N(t), t≥0} 为一更新过程，其间隔时间序列 X₁, X₂, … 独立同分布，第 n 个更新时刻记为 Sₙ = X₁+…+Xₙ。下列关于计数过程 N(t) 与更新时刻关系的表述中，正确的是哪一项？ A. N(t) = n 当且仅当 Sₙ ≤ t < Sₙ₊₁（n = 1, 2, …） B. N(t) = n 当且仅当 Sₙ₋₁ < t ≤ Sₙ（n = 1, 2, …） C. 对任意 t，N(t) 关于 t 严格递增 D. N(t) < n 当且仅当 Sₙ ≤ t

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17. 设 {N(t), t≥0} 为更新过程，其间隔时间 X₁, X₂, … 独立同分布且均非负，第 n 个更新时刻为 Sₙ = X₁+…+Xₙ。则对任意 t≥0，计数函数 N(t) 的正确刻画是：　A. N(t) 表示时刻 t 恰好发生一次更新　B. N(t) 是满足 Sₙ≤t 的最大 n，即 N(t) = max{n≥0 : Sₙ≤t}　C. N(t) 表示时刻 t 之后的更新次数　D. N(t) 关于 t 单调递减且取值连续

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18. 设 {N(t), t≥0} 为更新过程，更新间隔 X₁, X₂, … 独立同分布于区间 (0,2) 上的均匀分布。记 γ(t) 为时刻 t 的剩余寿命，A(t) 为时刻 t 的年龄。由更新极限定理，lim(t→∞) E[γ(t)] = ____，lim(t→∞) E[A(t)] = ____。

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19. 设某电子元件的使用寿命 X 服从参数为 λ=1/2 的指数分布，将损坏的元件立即更换，N(t) 为对应的更新过程，m(t)=E[N(t)] 为更新函数。请写出 m(t) 满足的更新方程，并利用更新方程求出 m(t) 的表达式。

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20. 设 {N(t), t≥0} 为更新过程，更新间隔 X 服从均值为 2 的指数分布，m(t)=E[N(t)] 为更新函数。由更新定理，lim(t→∞) m(t)/t = ____。

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21. 设某机器的相继使用寿命 X₁,X₂,… 独立同分布，均在区间 [1,3] 上服从均匀分布，损坏后立即更换，{N(t), t≥0} 为对应更新过程，m(t)=E[N(t)] 为更新函数。由更新定理，更新速率极限 lim(t→∞) m(t)/t = ____。

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22. 设某仪器的相继使用寿命 X₁,X₂,… 独立同分布，均在区间 [2,5] 上服从均匀分布，损坏后立即更换，{N(t), t≥0} 为对应的更新过程，m(t)=E[N(t)] 为更新函数。则对任意 t∈[0,2)，更新函数 m(t) 的值为多少？ A. m(t)=0 B. m(t)=t/7 C. m(t)=t/3 D. m(t)=1

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23. 设 {N(t), t≥0} 为更新过程，更新间隔 X₁, X₂, … 独立同分布且服从区间 (0,3) 上的均匀分布，记 γ(t) 为时刻 t 的剩余寿命（即从 t 到下一次更新所需等待的时间）。求极限 lim(t→∞) E[γ(t)]。

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24. 设 {N(t), t≥0} 为更新过程，更新间隔 X 的概率密度为 f(x)=2/(1+x)^3（x≥0），m(t)=E[N(t)] 为更新函数。由更新定理，lim(t→∞) m(t)/t 等于多少？ A. 1/2　B. 1　C. 2　D. 3

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25. 设某设备的相继工作寿命 X₁,X₂,… 独立同分布，均在区间 [2,6] 上服从均匀分布，设备损坏后立即更换，{N(t), t≥0} 为对应的更新过程，m(t)=E[N(t)] 为更新函数。由更新方程 m(t)=F(t)+∫₀ᵗ m(t−s)dF(s) 与初等更新定理，极限 lim(t→∞) m(t)/t 的值为（　）。 A. 1/3 B. 1/4 C. 1/2 D. 4

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26. 设 {N(t), t≥0} 为更新过程，更新间隔 X₁, X₂, … 独立同分布，P(X=4)=1/3，P(X=6)=2/3。记第 n 个更新时刻 Sₙ=X₁+…+Xₙ，更新函数 m(t)=E[N(t)]。(1) 写出 m(t) 与 Sₙ 的关系式；(2) 求 m(17)。

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27. 设 {N(t), t≥0} 为更新过程，更新间隔 X₁, X₂, … 独立同分布且均服从参数 λ=2 的指数分布，第 n 个更新时刻 Sₙ=X₁+…+Xₙ，计数函数 N(t)=max{n: Sₙ≤t}。试求：(1) P(N(3)=4)；(2) m(3)=E[N(3)]；(3) E[S_{N(3)+1}]。

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