大学随机过程上册《随机过程基本概念》练习题

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本单元考点（4 个）

随机过程的定义与状态空间有限维分布族及相容性定理均值函数与自相关函数独立增量与平稳增量过程

本单元练习题（27 题）

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1. 设 {X(t), t≥0} 为随机过程，X(t)=Y+Zt，其中 Y 与 Z 相互独立，均服从标准正态分布 N(0,1)。对任意 0≤t₁<t₂≤t₃<t₄，考虑增量 X(t₂)−X(t₁) 与 X(t₄)−X(t₃)。下列结论正确的是 A. 该过程既是独立增量过程又是平稳增量过程 B. 该过程是独立增量过程但不是平稳增量过程 C. 该过程是平稳增量过程但不是独立增量过程 D. 该过程既不是独立增量过程也不是平稳增量过程

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2. 设 {X(t), t≥0} 为随机过程，Y 与 Z 为相互独立的非退化随机变量。考察以下四个过程： (甲) X(t)=Y+Zt； (乙) X(t)=Zt²； (丙) X(t)=Y； (丁) X(t)=Z·sin t。则其中既是独立增量过程又是平稳增量过程的是 A. 仅甲　B. 仅乙　C. 仅丙　D. 仅丁

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3. 设 {X(t), t≥0} 为随机过程，X(t)=Y+Zt²，其中 Y~N(0,1)，Z~N(0,2)，且 Y 与 Z 相互独立。(1) 判断该过程是否具有独立增量性，是否具有平稳增量性，均需说明理由；(2) 对 0≤s<t，写出增量 X(t)−X(s) 的方差的一般表达式 Var(X(t)−X(s))；(3) 据此计算 Var(X(2)−X(1)) 的值。

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4. 设 {X(t), t≥0} 为随机过程，其有限维分布族是指对任意正整数 n 及任意 t₁,…,tₙ≥0，随机向量 (X(t₁),…,X(tₙ)) 的联合分布所构成的集合。下列关于有限维分布族的叙述正确的是（　） A. 有限维分布族只需知道每个时刻的一维分布即可完全确定 B. 有限维分布族必须满足相容性条件，即低维边缘分布可由高维分布唯一确定 C. 相容性条件只对二维分布成立，对更高维分布无需要求 D. 有限维分布族与过程的轨道性质一一对应，知道分布族即可确定一条具体轨道

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5. 设 {X(t), t≥0} 为随机过程，记其有限维分布族为 F。已知对任意 0≤t₁<t₂<t₃，三维分布 F(t₁,t₂,t₃; x₁,x₂,x₃) 满足：固定 x₁, x₃ 时关于 x₂ 是某函数的边缘分布。下列关于有限维分布族相容性条件的表述，正确的是哪一项？ A. 相容性只要求二维分布满足对称性，与高维分布无关 B. 相容性条件保证由有限维分布族可确定过程的全部轨道性质 C. 相容性要求高维分布对“多余”时刻取边缘分布时应与相应低维分布一致 D. 相容性条件是充分不必要的，即满足相容性的分布族不一定存在对应的过程

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6. 设随机过程 X(t) = Y·t，其中 Y 为随机变量，且 E[Y] = 2，E[Y²] = 5。则均值函数 m_X(t) = ____，自相关函数 R_X(s,t) = ____。

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7. 设随机过程 X(t)=2+tY，其中 Y~N(0,1)，t≥0。则该过程的均值函数 m(t)=____，自相关函数 R(t,s)=____（用 t、s 表示），并由此可得 m(2)=____，R(1,3)=____。

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8. 设随机过程 X(t) = A·cos t + B（t∈R），其中 A、B 相互独立且都服从均值为 0、方差为 σ²（σ²>0）的同一分布。记 m(t) = E[X(t)] 为均值函数，R(t,s) = E[X(t)X(s)] 为自相关函数。则 m(t) = ____，R(π/3, 0) = ____。

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9. 设随机过程 {X(t), t≥0}，其有限维分布族为：对任意 0≤t₁<…<tₙ，(X(t₁),…,X(tₙ)) 的联合分布函数为 F(t₁,…,tₙ; x₁,…,xₙ) = x₁x₂⋯xₙ（当 0≤xᵢ≤1 对所有 i 成立；否则按分布函数边界取值规定处理）。请写出：(1) 该过程的一维分布函数 F(t; x)；(2) 检验该有限维分布族是否满足相容性条件，即对任意 n 及 0≤t₁<…<tₙ<tₙ₊₁，验证 lim(xₙ₊₁→∞) F(t₁,…,tₙ,tₙ₊₁; x₁,…,xₙ,xₙ₊₁) = F(t₁,…,tₙ; x₁,…,xₙ)。

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10. 设 {X(t), t≥0} 为一随机过程，取其有限维分布族的候选形式：一维分布为 F_t(x)=Φ(x−t)（Φ 为标准正态分布函数）；二维分布对任意 s<t 定义为 F(s,t; x₁,x₂)=F_max(s,t)(x₁)·F_max(s,t)(x₂)=Φ(x₁−t)·Φ(x₂−t)。(1) 按有限维分布族的相容性要求，检验该二维分布在坐标 x₂→+∞ 时的边缘极限应等于哪个一维分布；(2) 取 s=1, t=2, x₁=0，计算该极限值与 F_s(0) 的具体数值，判断此分布族是否满足相容性定理。

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11. 设 {X(t), t≥0} 为随机过程，已知 X(0)=0，且对任意 0<t₁<t₂<…<tₙ，增量 X(t₂)−X(t₁), X(t₃)−X(t₂), …, X(tₙ)−X(tₙ₋₁) 相互独立。若进一步要求对任意 s<t，增量 X(t)−X(s) 的分布只依赖于 t−s，则该过程具备的性质是（　）A. 仅独立增量性 B. 仅平稳增量性 C. 同时具备独立增量性与平稳增量性 D. 既无独立增量性也无平稳增量性

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12. 设随机过程 X(t) = Y·sin(2t)，t≥0，其中随机变量 Y 服从正态分布 N(1, 2)（均值为1，方差为2）。则该过程的自相关函数 R(t, s) = E[X(t)X(s)] 在 t = s = π/8 处的值为多少？ A. 3/2　B. 3　C. √2　D. 1/2

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13. 设 T = {1, 2, 3}，S = {0, 1}。若对每个 t∈T，X(t) 是定义在同一概率空间上的随机变量，则称随机变量族 {X(t), t∈T} 为一个随机过程，其中 T 称为____，S 称为该过程的状态空间。特别地，当 T 为可列集时，该随机过程称为____过程。若固定样本点 ω₀，则 X(t, ω₀) 关于 t 的函数称为该过程的一条____（轨道）。

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14. 设随机过程 X(t)=3+e^(-t)·Z，t≥0，其中随机变量 Z 满足 E[Z]=1，E[Z²]=4。则该过程的均值函数 m_X(t)=____，自相关函数 R_X(t,s)=____（用 t、s 表示）。

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15. 设随机过程 {X(t), t≥0} 的有限维分布族候选形式如下：一维分布为 F(t; x)=Φ(x−t)，其中 Φ 为标准正态分布函数；二维分布规定为对任意 0≤s<t，F(s,t; x,y)=Φ(x−s)·Φ(y−t)。（1）写出相容性定理中二维分布关于第二个变元的边缘相容性条件：lim(y→+∞) F(s,t; x,y) 应等于什么？（2）取 x=0，s=1，验证该条件是否成立，并求出 lim(y→+∞) F(1,3; 0,y) 的具体数值（用 Φ 的值表示并给出近似值，精确到 10⁻⁴）。

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16. 设 {X(t), t≥0} 为随机过程，X(t)=Y·t，其中 Y 服从标准正态分布 N(0,1)。对任意 0<t₁<t₂<t₃<t₄，记 A=X(t₂)−X(t₁)，B=X(t₄)−X(t₃)，则 Cov(A,B)=____；由此可知该过程的增量族相互独立（填“是”或“否”），且其增量分布仅依赖于时间区间的长度，故该过程____（填：“具有独立增量但不具有平稳增量”或“具有平稳增量但不具有独立增量”）。

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17. 设随机过程 X(t)=Z·cos(3t)+W（t≥0），其中 Z 与 W 相互独立，E[Z]=0，E[Z²]=3，E[W]=2，E[W²]=5。则该过程的均值函数 m_X(t)=____，自相关函数 R_X(t,s)=____（用 t、s 表示）。

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18. 设随机过程 X(t)=U+V·t²，t∈R，其中 U、V 相互独立，E[U]=0，E[U²]=3，E[V]=1，E[V²]=5。则该过程的均值函数 m_X(t)=____，自相关函数 R_X(t,s)=____（用 t、s 表示）。

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19. 设随机过程 X(t) = Z·e^(3t) + t²，t≥0，其中随机变量 Z 满足 E[Z]=2，E[Z²]=9。则该过程的均值函数 m_X(t) 与自相关函数 R_X(t,s) 分别为（　） A. m_X(t)=2e^(3t)+t²，R_X(t,s)=9e^(3(t+s))+2t²e^(3s)+2s²e^(3t)+t²s² B. m_X(t)=2e^(3t)+t²，R_X(t,s)=4e^(3(t+s))+t²s² C. m_X(t)=9e^(3t)+t²，R_X(t,s)=9e^(3(t+s))+t²s² D. m_X(t)=2e^(3t)+2t²，R_X(t,s)=9e^(3(t+s))+2(t²+s²)

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20. 设 {X(t), t≥0} 为随机过程，X(t)=Y·t²，其中 Y 为非退化随机变量。对任意 0≤s<t，考虑以下两个命题：甲：该过程具有独立增量性；乙：该过程具有平稳增量性。则正确的判断是 A. 甲、乙都成立　B. 甲成立，乙不成立　C. 甲不成立，乙成立　D. 甲、乙都不成立

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21. 设随机过程 X(t)=A·cos t + B·sin t（t≥0），其中 A 与 B 相互独立，E[A]=E[B]=0，D[A]=1，D[B]=4。记自相关函数 R(t,s)=E[X(t)X(s)]，则 R(π/3, π/6)=____。 A. √3/4 B. 5√3/4 C. 3√3/4 D. √3

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22. 设 {X(t), t≥0} 为一随机过程，给定其有限维分布族候选形式：对任意正整数 n 及任意 0≤t₁<…<tₙ，规定 (X(t₁),…,X(tₙ)) 的联合分布函数为 F(t₁,…,tₙ; x₁,…,xₙ)=F₁(t₁; x₁)·F₁(t₂; x₂)·…·F₁(tₙ; xₙ)，其中 F₁(t; x) 为一维分布函数族。按相容性定理，该分布族成为某个随机过程的有限维分布族，除要求每个 F₁(t; x) 是一维分布函数外，还须验证：对任意 m<n，n 维分布关于前 m 个分量的边缘分布（即将 x₍m₊₁₎,…,xₙ 取 ____）等于相应的 m 维分布。对于本题给定的乘积形式，该边缘分布恰等于 F₁(t₁; x₁)·…·F₁(t_m; x_m)，故此有限维分布族____相容性条件（第二空填“满足”或“不满足”）。

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23. 设随机过程 {X(t), t∈[0,1]}，对其给出分布族候选：对每个 t∈[0,1]，一维分布函数为 F(t; x)=x²（0≤x≤1）；对任意 s<t 及实数 x, y，二维分布函数规定为 F(s,t; x, y)=F(s; x)·F(t; y)。（1）写出该过程全体有限维分布的定义式（对任意正整数 n 及 0≤t₁<…<tₙ≤1，给出 n 维联合分布函数的表达形式）；（2）按此二维分布的规定，说明该有限维分布族是否满足相容性定理要求的相容性条件，即验证对任意 s<t 及 x, y，F(s; x)=F(s,t; x, +∞) 是否成立，并给出理由。

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24. 设随机过程 X(t)=Z·t+W·e^(-2t)（t≥0），其中 Z 与 W 相互独立，Z 等可能地取值 1 和 3，W 服从区间 [0,2] 上的均匀分布。求该过程的均值函数 m_X(t) 与自协方差函数 C_X(t,s)。

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25. 设参数集 T={1,2}，样本空间 Ω={ω₁,ω₂}，P({ω₁})=P({ω₂})=1/2。对每个 t∈T 在 Ω 上定义实值映射，考察下列四个随机变量族： ① X(1,ω₁)=0，X(1,ω₂)=1；X(2,ω₁)=1，X(2,ω₂)=0； ② Y(1,ω₁)=Y(1,ω₂)=0；Y(2,ω₁)=Y(2,ω₂)=2； ③ Z(1,ω₁)=1，Z(1,ω₂)=2；Z(2,ω₁)=3，Z(2,ω₂)=√5； ④ W(1,ω₁)=0，W(1,ω₂)=1/2；W(2,ω₁)=−1，W(2,ω₂)=3/4。现规定状态空间 S={0,1,2}。按随机过程的定义（对每个固定的 t∈T，X(t,·) 是定义在 Ω 上的随机变量，且取值于状态空间 S），依次判断上述四个随机变量族中哪些构成以 S 为状态空间的随机过程，哪些不构成，并说明不构成的理由。

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26. 设参数集 T=(0,∞)，候选有限维分布族定义如下：对任意正整数 n、任意 0<t₁<…<tₙ，规定 (X(t₁),…,X(tₙ)) 的联合分布函数为 F(t₁,…,tₙ; x₁,…,xₙ)=∏ₖ₌₁ⁿ [1−e^(−t_k x_k)]（x₁,…,xₙ≥0；若有某分量 x_k<0 则取 F=0）。(1) 说明每个 t>0 处的一维分布 F(t; x) 对应何种常见分布，并指出 X(t) 与 E[X(t)]；(2) 验证该分布族是否满足相容性条件，即对任意 m<n，边缘分布 F(t₁,…,t_m; x₁,…,x_m)=lim(x_{m+1},…,xₙ→∞) F(t₁,…,tₙ; x₁,…,xₙ) 是否成立；(3) 由相容性定理判断：是否存在随机过程以该分布族为其有限维分布族？

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27. 设随机过程 X(t)=W·sin(2t)+t，t≥0，其中随机变量 W 满足 E[W]=3，E[W²]=13。求该过程的均值函数 m_X(t) 与自相关函数 R_X(s,t)。

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