大学随机过程上册《遍历性与极限定理》练习题

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本单元考点（4 个）

均值遍历性及其条件相关函数遍历性伯克霍夫遍历定理大数定律与极限定理

本单元练习题（9 题）

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1. 设 {X(t), t≥0} 为均方连续的宽平稳过程，均值为 m，自协方差函数 R(τ)=e^(−2τ)cos(3τ)（τ≥0）。已知宽平稳过程具有均值遍历性的一个充分条件是自协方差函数在 [0,∞) 上____（填写：绝对可积或不绝对可积），此时时间平均 (1/T)∫₀ᵀ X(t)dt 均方收敛于____。

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2. 设 T 是 [0,1) 上的旋转映射：T(x) = (x + α) mod 1。由伯克霍夫遍历定理，当且仅当 α 为____数时，T 关于 Lebesgue 测度是遍历的；此时对任意可积函数 f，时间平均 (1/n)∑ₖ₌₀ⁿ⁻¹ f(Tᵏx) 几乎处处收敛于空间平均 ∫₀¹ f(x)dx。取 α = √2，f(x) = x²，则该时间平均的几乎处处极限为____。

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3. 设 {X(t), t≥0} 为宽平稳过程，E[X(t)]=0，自相关函数 R_X(τ)=4e^(−3|τ|)。按相关函数遍历性的均方判据，需考察积分 C=∫₋∞^(+∞) (R_X(τ)−0)² dτ 是否有限。则该积分 C=____

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4. 设 X₁, X₂, …, X₁₀₀ 相互独立同分布，均服从参数 λ=1/2 的指数分布（均值 E(Xᵢ)=2，方差 D(Xᵢ)=4），记 S₁₀₀=∑ᵢ₌₁¹⁰⁰ Xᵢ。由独立同分布中心极限定理，P(S₁₀₀≤220) 近似等于 Φ(____)。

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5. 设 {X(t), t≥0} 为均方连续的宽平稳过程，均值 m=E[X(t)]=2，相关函数 R(τ) 满足 R(τ)→0（τ→∞）。则该过程的均值具有遍历性，即时间平均 (1/T)∫₀ᵀ X(t)dt 当 T→∞ 时均方收敛于 ____；若 R(τ)=4e^(-3|τ|)，则该过程均值为遍历的（填“是”或“否”）：____。

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6. 设 X₁, X₂, …, X₄₈ 相互独立且同服从区间 (0,1) 上的均匀分布，记 S₄₈ = ∑ᵢ₌₁⁴⁸ Xᵢ。由独立同分布中心极限定理，S₄₈ 近似服从正态分布，则 P(S₄₈ > 27.5) ≈ ____（用标准正态分布函数 Φ 表示数值，已知 Φ(1.75) = 0.9599）。

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7. 设随机过程 {Yₙ, n≥1} 相互独立同分布，E(Yₙ)=3，D(Yₙ)=9。记样本均值 Ȳₙ = (1/n)∑ᵢ₌₁ⁿ Yᵢ。由辛钦大数定律，lim(n→∞) Ȳₙ = ____（依概率）；而由独立同分布中心极限定理，当 n 充分大时，√n(Ȳₙ − 3)/3 近似服从标准正态分布 N(0,1)。

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8. 设 X₁, X₂, …, X₆₄ 相互独立同分布，均服从参数 λ=1/4 的指数分布，记 S₆₄=∑ᵢ₌₁⁶⁴ Xᵢ。由独立同分布中心极限定理，S₆₄ 近似服从正态分布 N(μ, σ²)，则 μ=____，σ²=____；从而概率 P(S₆₄<272)≈Φ(z)（其中 Φ 为标准正态分布函数），则 z=____（填小数）。

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9. 设平稳遍历过程 {Xₙ} 满足 E(Xₙ)=2，且 E|Xₙ|<∞。根据遍历定理，几乎必然有 lim(n→∞)(1/n)∑ₖ₌₁ⁿ Xₖ = ____。

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