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大学随机过程上册《泊松过程》练习题

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本单元考点（4 个）

泊松过程的定义与基本性质到达时间间隔的指数分布泊松过程的叠加与分解复合泊松过程

本单元练习题（27 题）

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1. 设 {N(t), t≥0} 是强度为 λ=2 的泊松过程，每次事件到达伴随的赔付额 Xᵢ 相互独立同分布，且 P(Xᵢ=1)=P(Xᵢ=3)=1/2，与 {N(t)} 独立。记复合泊松过程 S(t)=∑ᵢ₌₁^N(t) Xᵢ，则 S(t) 的期望 E[S(t)] 为（　　）。A. 2t　B. 4t　C. t　D. 8t

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2. 设 {N₁(t)} 与 {N₂(t)} 是相互独立的泊松过程，强度分别为 λ₁=2（件/小时）与 λ₂=3（件/小时）。将两类事件按到达时刻合并为一个叠加过程 {N(t)}。（1）写出 {N(t)} 的强度；（2）已知到时刻 t 时合并过程共到达了 4 个事件，求其中恰好有 2 个事件来自过程 {N₁(t)} 的概率。

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3. 某客服中心顾客来电次数 N(t) 是强度 λ=0.5（次/分钟）的泊松过程。设 X₃ 为第 3 个来电与第 2 个来电之间的时间间隔，则 X₃ 服从参数为____的指数分布，其均值 E[X₃]=____分钟，且 X₃ 大于 4 分钟的概率 P(X₃>4)=____（结果用 e 的幂表示）。

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4. 设保险索赔次数 {N(t), t≥0} 是强度 λ=4（件/小时）的泊松过程，第 i 次索赔额 Xᵢ 相互独立同分布，与 {N(t)} 独立，且 P(Xᵢ=2)=1/4，P(Xᵢ=5)=3/4。记 S(t)=∑(i=1 to N(t)) Xᵢ 为到时刻 t 的累计索赔总额，则 E[S(2)] 等于多少？ A. 30（万元）　B. 34（万元）　C. 38（万元）　D. 42（万元）

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5. 某仓库货物到达次数 N(t) 是强度 λ=2（件/小时）的泊松过程，X₁, X₂, … 为相互独立的到达时间间隔。记 T = X₂ + X₃，即第 3 件货物相对于第 1 件货物的到达时刻，则概率 P(T > 1) 等于 A. 3e^(-2)　B. e^(-2)　C. 5e^(-2)　D. 1 - 3e^(-2)

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6. 设某客服热线在 [0,t] 内接入的来电数 {N(t), t≥0} 是强度为 λ=4（个/小时）的泊松过程。每个来电独立地以概率 p=1/4 为投诉电话，以概率 1−p=3/4 为咨询电话，记 N₁(t)、N₂(t) 分别为 [0,2] 小时内接入的投诉、咨询电话数。求：E[N₁(2)]、E[N₂(2)]，并说明 N₁(2) 与 N₂(2) 是否相互独立及理由。

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7. 某网站服务器收到请求的次数 N(t) 是强度 λ=2（次/秒）的泊松过程。设 T 为从时刻 0 起到第 1 个请求到达的等待时间。 (1) 写出 T 的分布并求 P(T>1.5)； (2) 若已知前 0.8 秒内没有请求到达，求在第 1.8 秒时仍无请求到达的条件概率。

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8. 设 {N(t), t≥0} 是强度 λ=2 的泊松过程，且 N(0)=0。求：(1) 概率 P{N(1)=0 且 N(4)=3}（结果保留 e 的幂形式）；(2) 条件概率 P{N(1)=0 | N(4)=3}。

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9. 某急救调度中心收到呼救的次数 N(t) 是强度 λ=1.2（次/小时）的泊松过程，各次到达间隔相互独立且服从指数分布。设 X₁ 为从时刻 0 起到第 1 次呼救到达的时间间隔（单位：小时），则 P(X₁ > 5分钟) = ____（用 e 的幂表示）。

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10. 设 {N(t), t≥0} 是强度 λ=2 的泊松过程，且 N(0)=0。由平稳独立增量性质，条件概率 P{N(2)=2 | N(4)=2} = ____

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11. 设 {N(t), t≥0} 是强度为 λ 的泊松过程，且 N(0)=0。已知 P{N(2)=0}=e^(−4)。(1) 求强度 λ 的值；(2) 在此强度下，利用独立增量与平稳增量性质，求概率 P{N(5)−N(3)=0}（结果用 e 的幂表示）。

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12. 设 {N(t), t≥0} 是强度为 λ=2 的泊松过程，则 N(1) 服从参数为 ____ 的泊松分布，P{N(1)=0}=____（保留四位小数）。

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13. 设保险公司的理赔总金额 S(t) 是复合泊松过程，其中理赔次数 {N(t), t≥0} 是强度 λ=3（件/小时）的泊松过程，各次理赔额 Y₁, Y₂, … 相互独立且与 N(·) 独立，均服从均值为 2（万元）的指数分布。则 Var(S(2)) = ____（万元²）。

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14. 设 {N(t), t≥0} 是强度 λ=3 的泊松过程，第 i 次事件发生时产生一笔大小为 Xᵢ 的收益，X₁,X₂,… 独立同分布且与 {N(t)} 独立，P(Xᵢ=1)=1/3，P(Xᵢ=2)=2/3。记到时刻 t 为止的累计收益为 S(t)=∑ᵢ₌₁^N(t) Xᵢ，则 S(t) 是复合泊松过程，E[S(2)]=____，Var(S(2))=____。

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15. 设 {N₁(t), t≥0} 与 {N₂(t), t≥0} 是相互独立、参数分别为 λ₁=3 和 λ₂=2 的泊松过程。令 N(t)=N₁(t)+N₂(t)（t≥0）。求 N(2) 的期望与方差。

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16. 设 {N(t), t≥0} 是参数为 λ 的泊松过程。已知 P(N(0.5)=0)=e^(-1)。则概率 P(N(2)-N(1)=0) 等于（　） A. e^(-2) B. e^(-4) C. e^(-1) D. e^(-1/2)

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17. 设 {N(t), t≥0} 是强度为 λ=6 的泊松过程，每个到达事件独立地以概率 1/3 被归类为 A 型，以概率 2/3 归类为 B 型。记 N_A(t)、N_B(t) 分别为 (0,t] 内 A 型、B 型事件的个数。则 P(N_A(1)=2 且 N_B(1)=1) 等于多少？ A. 8e^(-6)　B. 4e^(-6)　C. 8e^(-2)　D. 16e^(-6)

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18. 设 {N(t), t≥0} 是强度 λ=1 的泊松过程，且 N(0)=0。由泊松过程具有独立增量与平稳增量性质，概率 P{N(1)=1 且 N(3)=3} = ____（用 e 的幂表示）。

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19. 设 {N(t), t≥0} 是泊松过程，已知单位时间内平均到达次数为 3，且到达间隔相互独立服从同一指数分布。记 W₁ 为第一次到达时刻，则 P(W₁ > 0.5) = ____（保留四位小数）。

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20. 设 {N(t), t≥0} 是强度为 λ=3 的泊松过程，则对任意 s<t，增量 N(t)-N(s) 的分布为（　） A. 参数为 λt 的泊松分布　B. 参数为 λ(t-s) 的泊松分布　C. 参数为 λs 的泊松分布　D. 参数为 t-s 的二项分布

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21. 某网络服务器接收请求的次数 {N(t), t≥0} 为泊松过程，已知相邻两次请求的平均到达间隔为 1/4 小时。则 2 小时内恰好到达 2 个请求的概率为（　） A. 32e^(-8)　B. 16e^(-8)　C. 32e^(-4)　D. 64e^(-8)

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22. 某共享单车维修点收到报修单的次数 N(t) 是强度 λ=4（单/小时）的泊松过程。设 X₁ 为从时刻 0 起到第 1 张报修单到达的时间间隔，则 X₁ 服从的分布及 E[X₁] 为（　） A. 服从参数为 4 的指数分布，E[X₁] = 1/4 小时 B. 服从参数为 4 的泊松分布，E[X₁] = 4 小时 C. 服从参数为 1/4 的指数分布，E[X₁] = 4 小时 D. 服从参数为 4 的均匀分布，E[X₁] = 1/2 小时

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23. 设 {N₁(t), t≥0} 与 {N₂(t), t≥0} 是相互独立的泊松过程，强度分别为 λ₁=5 与 λ₂=7（单位：次/小时）。令 N(t)=N₁(t)+N₂(t)（t≥0），则 {N(t), t≥0} 是强度为 ____ 的泊松过程；现将 N(t) 中每个事件独立地以概率 p=1/4 标记为甲类，则甲类事件计数过程是强度为 ____ 的泊松过程。

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24. 设 {N(t), t≥0} 是强度 λ=2 的泊松过程，且 N(0)=0。利用独立增量与平稳增量性质，条件概率 P{N(3)=2 | N(1)=0} 等于（　） A. 2e^(-4) B. 4e^(-6) C. 2e^(-6) D. 4e^(-4)

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25. 设 {N₁(t), t≥0} 与 {N₂(t), t≥0} 是相互独立的泊松过程，强度分别为 λ₁=4 与 λ₂=6（单位：次/小时）。令 N(t)=N₁(t)+N₂(t) 为叠加过程。求概率 P(N(1)=3 且 N₁(1)=2)，并求在 N(1)=3 的条件下 N₁(1)=2 的条件概率。

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26. 某网络数据中心光模块故障次数 N(t) 是强度 λ=3（次/天）的泊松过程，相邻两次故障的到达时间间隔 X₁, X₂, … 相互独立。设从时刻 0 起已观察到 5 次故障，记 T 为从第 5 次故障时刻起直到第 6 次故障发生所需等待时间。(1) 写出 T 的分布类型与参数；(2) 利用指数分布的无记忆性说明 T 的分布与已发生 5 次故障这一事实无关，并求 P(T > 1/2)（单位：天）；(3) 求 E(T)。

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27. 设某网站咨询请求的到达次数 {N(t), t≥0} 是强度 λ=5（次/分钟）的泊松过程，第 i 次请求产生的服务收益 Xᵢ 相互独立同分布，且与 {N(t)} 独立，P(Xᵢ=0)=P(Xᵢ=4)=1/2（单位：元）。记前 1 分钟内的总收益 S(t)=∑ᵢ₌₁^{N(t)} Xᵢ。求 E(S(1)) 与 Var(S(1))。

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