大学随机过程上册《布朗运动》练习题

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本单元考点（5 个）

布朗运动的定义与性质高斯过程与协方差结构路径的连续性性质首次击中时与反射原理二次变差

本单元练习题（18 题）

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1. 设 {B(t), t≥0} 为标准布朗运动，考察下列四个过程：甲：X(t)=2B(t/4)；乙：X(t)=B(t/2)；丙：X(t)=B(t)+t；丁：X(t)=B(2t)。其中仍为标准布朗运动的是（　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

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2. 设 {B(t): t≥0} 为标准布朗运动，令 X = B(7)，Y = B(9) − B(3)，则 Cov(X,Y) 等于多少？ A. 3 B. 4 C. 7 D. 9

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3. 设 {B(t), t≥0} 为标准布朗运动，B(0)=0。对区间 [0,1] 取非均匀分割，分点为 tᵢ=(i/n)²（i=0,1,…,n），记二次变差部分和 Vₙ=∑ᵢ₌₁ⁿ [B(tᵢ)−B(tᵢ₋₁)]²。当 n→∞ 时，Vₙ 依概率收敛于（　）。 A. 0　B. 1　C. 2　D. ∞

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4. 设 {B(t), t≥0} 是标准布朗运动，下列关于其性质的陈述中正确的是（　） A. B(0)=1，且 B(t)～N(0,t) B. 对任意 0≤s<t，增量 B(t)−B(s)～N(0,t−s)，且不重叠区间的增量相互独立 C. 样本路径处处可导 D. 对任意 t>0，B(t)～N(1,t)

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5. 设 {B(t): t≥0} 为标准布朗运动，B(0)=0。将区间 [0,2] 进行 n 等分，分点为 t_k=2k/n（k=0,1,…,n），记二次变差近似和 S_n=∑ₖ₌₁ⁿ [B(t_k)−B(t_(k−1))]²。依概率取极限，lim(n→∞) S_n = ? A. 0 B. 1 C. 2 D. 4

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6. 设 {B(t), t≥0} 为标准布朗运动。对区间 [0,1] 作 n 等分，分点为 tᵢ=i/n（i=0,1,…,n），记二次变差部分和 Vₙ=∑ᵢ₌₁ⁿ [B(tᵢ)−B(tᵢ₋₁)]²。则 Vₙ 依概率收敛于 ____，且 E[Vₙ]=____。

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7. 设 {B(t), t≥0} 为标准布朗运动，B(0)=0，其协方差函数为 Cov(B(s),B(t))=min(s,t)。对于 0<s<t，下列关于增量 B(t)−B(s) 的结论正确的是：A. 期望为 t−s，方差为 t−s　B. 期望为 0，方差为 t−s　C. 期望为 0，方差为 t　D. 期望为 0，方差为 s

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8. 设 {B(t), t≥0} 为标准布朗运动，令 X(t)=B(t²)，t≥0。若 0<s<t，则 Cov(X(s),X(t))=____（用 s、t 的表达式表示）；当 s=2、t=3 时，该协方差值为 ____。

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9. 设 {B(t): t≥0} 为标准布朗运动，令 X=B(2)，Y=B(5)−B(1)，则 Cov(X,Y) 等于多少？ A. 1 B. 3 C. 2 D. 5

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10. 设 {B(t), t≥0} 为标准布朗运动。将区间 [0,3] 作 n 等分，分点为 tₖ=3k/n（k=0,1,…,n），记二次变差部分和 Vₙ=∑ₖ₌₁ⁿ [B(3k/n)−B(3(k−1)/n)]²。则依概率（从而均方）极限 lim(n→∞) Vₙ = ____。

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11. 设 {B(t), t≥0} 为标准布朗运动，B(0)=0。取区间 [0,4] 的一列分割，使最大小区间长度 mesh→0，例如将 [0,4] 作 n 等分，分点 tₖ=4k/n（k=0,1,…,n）。记二次变差部分和 Vₙ=∑ₖ₌₁ⁿ [B(tₖ)−B(tₖ₋₁)]²，则当 n→∞ 时，Vₙ 依概率收敛到（　　） A. 0 B. 2 C. 4 D. 8

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12. 设 {B(t): t≥0} 为标准布朗运动，令 X = B(3)−B(1)，Y = B(7)−B(2)。由布朗运动的协方差结构 Cov(B(s),B(t)) = min(s,t)，可算得 Cov(X,Y) = ____。

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13. 设 {B(t), t≥0} 为标准布朗运动，B(0)=0，B(t)～N(0,t) 且增量相互独立。记 M = max{B(s): 0≤s≤1}。利用布朗运动的对称性与 M 的分布函数 P(M≤a)=2Φ(a)−1（a>0，Φ 为标准正态分布函数），则 P(M≤1) = ____（用 Φ 的表达式表示，并给出四位小数值）。

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14. 设 {B(t): t≥0} 为标准布朗运动，令 X=B(3)，Y=B(5)−B(2)，则 Cov(X,Y) 等于多少？ A. 1 B. 2 C. 3 D. 5

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15. 设 {B(t): t≥0} 为标准布朗运动，令 X = B(3)−B(1)，Y = B(5)−B(2)，则协方差 Cov(X,Y) = ____。

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16. 设 {B(t), t≥0} 为标准布朗运动。布朗运动的每一条样本路径在区间 [0,∞) 上是 t 的____函数，且对任意固定的 t≥0，B(t) 服从正态分布。特别地，P(lim(h→0) B(t+h) − B(t) = 0) = ____。

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17. 设 {B(t), t≥0} 为标准布朗运动，B(0)=0，B(t)～N(0,t) 且增量相互独立。记 M = max{B(s): 0≤s≤4}。由布朗运动的反射原理，P(M ≥ 2) = 2P(B(4) ≥ 2) = ____（用标准正态分布函数 Φ 表示）。

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18. 设 {B(t), t≥0} 为标准布朗运动（B(0)=0），记 τ₁ 为其首次击中水平 1 的时刻，即 τ₁ = inf{t≥0 : B(t)=1}。由反射原理，P(τ₁≤t) = 2[1−Φ(1/√t)]，其中 Φ 为标准正态分布函数。请利用该结论计算 P(τ₁≤4) = ____（保留四位小数；参考值 Φ(0.5)=0.6915）。

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