大学随机过程上册《平稳随机过程》练习题

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本单元考点（4 个）

严平稳与宽平稳定义自相关函数的性质功率谱密度与谱表示线性滤波的平稳性

本单元练习题（9 题）

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1. 设 {X(t), t∈R} 为均值为 μ₀、自相关函数为 R_X(τ) 的宽平稳过程。考虑线性时不变系统，其频率响应为 H(ω)=2e^(-jω)，输入为 X(t)，输出为 Y(t)。试说明 Y(t) 也是宽平稳过程，并求 Y(t) 的均值 E[Y(t)] 与自相关函数 R_Y(τ)（用 R_X 表示）。

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2. 设 {W(n), n∈Z} 为零均值白噪声，方差 σ²=4，且不同时刻互不相关。定义线性滤波输出 X(n)=W(n)+0.5·W(n−1)。（1）证明 {X(n)} 是弱平稳过程；（2）求 X(n) 的方差及自相关函数 R_X(k)（k=0,1,2，其余滞后给出通式）。

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3. 设 {X(t), t∈R} 是严平稳过程，且 E[X(t)²]=c²>0（常数）。另设过程 {Y(t), t∈R} 满足 Y(t)=X(t)+Z(t)，其中 {Z(t)} 是与 {X(t)} 独立的宽平稳过程，均值为 0，自相关函数 R_Z(τ)=σ²·e^(−|τ|)。（1）说明 {X(t)} 的自相关函数 R_X(τ)=E[X(t)X(t+τ)] 必与 t 无关，从而 {X(t)} 是宽平稳的，并写出 R_X(τ) 应满足的性质；（2）判断 {Y(t)} 是否为宽平稳过程，若是，写出其均值函数与自相关函数。

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4. 设 {X(t), t∈R} 为弱平稳实随机过程，其自相关函数满足 R_X(0)=5、R_X(T)=−5，其中 T≠0。利用自相关函数的性质，计算 R_X(2T) 与 R_X(3T)。

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5. 设弱平稳过程 {X(t)} 的自相关函数为 R(τ)=e^(-4|τ|)。求：(1) X(t) 的功率谱密度 S(ω)；(2) X(t) 的平均功率。

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6. 设 {X(t)} 为均方连续的实弱平稳过程，其自相关函数为 R(τ)=e^(−2|τ|)·cos(3τ)。(1) 求 X(t) 的功率谱密度 S(ω)；(2) 求过程的总平均功率。

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7. 设 {X(t), t∈R} 为弱平稳过程，其自相关函数为 R_X(τ)=4e^(−|τ|)cos(2τ)+9。请计算该过程的方差 D(X)。

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8. 设随机过程 X(t) = A，其中 A 为随机变量，其均值 E[A] = 0，方差 D[A] = 4。判断：过程 X(t) 是否为宽平稳过程？是否必为严平稳过程？并求其自相关函数 R_X(t₁, t₂) 与均值函数 m_X(t)。

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9. 设 {X[n], n∈ℤ} 为零均值宽平稳随机过程，自相关函数为 R_X[k]=(1/3)^|k|。定义线性滤波输出 Y[n]=X[n]+X[n−1]。计算 Y[n] 的均值与自相关函数，并判断 {Y[n]} 是否宽平稳。

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