大学随机过程上册《连续时间马尔可夫链》练习题

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本单元考点（4 个）

转移速率矩阵与柯氏方程生灭过程及其平稳分布嵌入链与状态分类转移概率与Q矩阵关系

本单元练习题（27 题）

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1. 设连续时间马尔可夫链的状态空间为 {1,2,3}，转移概率函数为 p_ij(t)，其 Q 矩阵为 Q=(q_ij)。已知 p₂₁'(0)=3，p₂₃'(0)=2，且过程在状态 2 的逗留时间服从参数为 5 的指数分布，则 p₂₂'(0) 等于多少？ A. 5 B. -5 C. -3 D. -2

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2. 设生灭过程 {X(t), t≥0} 的状态空间为 {0,1,2,3,4}，出生率 λₙ=4−n（n=0,1,2,3，λ₄=0），死亡率 μₙ=n（n=1,2,3,4）。该过程存在唯一的平稳分布 {πₙ}。试求 π₂ 与 π₃。

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3. 设连续时间马尔可夫链的转移率矩阵（Q矩阵）为 q₁₁=-2, q₁₂=2, q₁₃=0；q₂₁=1, q₂₂=-3, q₂₃=2；q₃₁=q₃₂=0, q₃₃=0。其嵌入链（跳跃链）由 pᵢⱼ=qᵢⱼ/(-qᵢᵢ)（i≠j）确定。下列关于嵌入链状态分类的结论正确的是： A. 状态1与状态2均为常返态，状态3为非常返态 B. 状态3为吸收态，状态1与状态2均为非常返态 C. 三个状态均为常返态 D. 状态1为吸收态，状态2与状态3为非常返态

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4. 设连续时间马尔可夫链 {X(t), t≥0} 的状态空间为 {0,1}，转移速率矩阵 Q = [ -3 3 ; 1 -1 ]（其中 q₀₀=-3，q₀₁=3，q₁₀=1，q₁₁=-1），且初始状态 X(0)=1。由柯尔莫哥洛夫向前方程组解得转移概率 p₁₁(t) 等于（　）。　A. 1/4 + 3/4·e^(-4t)　B. 3/4 + 1/4·e^(-4t)　C. 1/4 + 3/4·e^(4t)　D. 3/4 - 1/4·e^(-4t)

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5. 设连续时间马尔可夫链的状态空间为 {0,1,2}，其 Q 矩阵为 Q = [ -3, 2, 1; 4, -6, 2; 5, 0, -5 ]，转移率 q_ij = q(i,j)。记 p_ij(t) 为转移概率函数，则由转移概率与 Q 矩阵的关系，p_01'(0) 及 q_12 的值分别为（　） A. p_01'(0) = 2，q_12 = 2 B. p_01'(0) = -3，q_12 = 6 C. p_01'(0) = 1，q_12 = -2 D. p_01'(0) = 5，q_12 = 0

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6. 设生灭过程的状态空间为 {0,1}，出生率 λ₀=2，死亡率 μ₁=3。若该过程的平稳分布存在，则平稳分布中处于状态 1 的概率 π₁=____。

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7. 设连续时间马尔可夫链状态空间为 {1,2,3,4}，转移率矩阵 Q 满足：q₁₁=-2, q₁₂=2；q₂₁=1, q₂₂=-1；q₃₂=3, q₃₃=-3；q₄₁=2, q₄₄=-2，其余非对角元为0。写出其嵌入链（跳跃链）：由状态1必跳到2，由状态2必跳到1，由状态3必跳到2，由状态4必跳到1。则该嵌入链的唯一闭类为 {1,2}，其平稳分布为 π₁=____，π₂=____（状态3、4的平稳概率为0）。

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8. 设某生灭过程 {N(t), t≥0} 的状态空间为 {0,1,2,…}，出生率恒为 λₙ=2（n≥0），死亡率恒为 μₙ=3（n≥1）。试写出其平稳分布 πₙ（n=0,1,2,…）。

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9. 某生灭过程 {X(t), t≥0} 的状态空间为 {0,1,2,3}，其出生率与死亡率如下：λ₀=λ₁=λ₂=1（λₙ=0, n≥3），μ₁=1, μ₂=2, μ₃=3。设 π₀, π₁, π₂, π₃ 为该过程的平稳分布，求 π₀ 及 π₃ 的值。

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10. 设连续时间马尔可夫链的状态空间为 {0,1,2}，Q 矩阵为 Q = [ -4, 3, 1; 2, -5, 3; 0, 4, -4 ]（第 i 行第 j 列元素为 q_ij）。（1）写出转移概率 p₀₂(t) 所满足的柯尔莫哥洛夫向后方程；（2）求 p₀₂'(0) 的值。

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11. 设连续时间马尔可夫链 {X(t), t≥0} 的状态空间为 {0,1}，转移速率矩阵 Q = [-4 4; 2 -2]（即 q00=-4，q01=4，q10=2，q11=-2），初始分布 P{X(0)=0}=1。记 p00(t)=P{X(t)=0 | X(0)=0}。由柯尔莫哥洛夫向前方程，p00(t) 满足微分方程 p00′(t) = p00(t)q00 + p01(t)q10，其中 p01(t)=1-p00(t)，初始条件 p00(0)=1。解得 p00(t) = ____（用 t 的表达式表示）。

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12. 设生灭过程 {X(t), t≥0} 的状态空间为 {0,1,2}，出生率 λ₀=1, λ₁=2（λ₂=0），死亡率 μ₁=2, μ₂=1。若其平稳分布 {π₀, π₁, π₂} 存在，则 π₁=____。

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13. 设某生灭过程 {X(t), t≥0} 的状态空间为 {0,1,2,3}，出生率 λ₀=3, λ₁=2, λ₂=1（λₙ=0, n≥3），死亡率 μ₁=2, μ₂=3, μ₃=4。若该过程存在平稳分布 {π₀, π₁, π₂, π₃}，则 π₃=____。

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14. 设生灭过程 {X(t), t≥0} 的状态空间为 {0,1,2,…}，出生率 λₙ=n+1（n≥0），死亡率 μₙ=2(n+1)（n≥1）。若其平稳分布 {πₙ, n≥0} 存在，则 π₂=____。

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15. 设连续时间马尔可夫链的状态空间为 {0,1,2}，其 Q 矩阵为 Q = [ -5, 3, 2; 1, -4, 3; 2, 6, -8 ]（第 i 行第 j 列元素为 q_ij）。由转移概率与 Q 矩阵的关系，lim(t→0+) p₁₂(t)/t = ____，lim(t→0+) [1−p₀₀(t)]/t = ____。

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16. 设生灭过程 {X(t), t≥0} 的状态空间为 {0,1,2,…}，出生率 λₙ=1（n≥0），死亡率 μₙ=n+1（n≥1）。已知其平稳分布存在，则 π₀=____，π₂=____。（结果用 e 表示）

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17. 设连续时间马尔可夫链状态空间为 {1,2,3,4}，转移率矩阵 Q 满足：q₁₂=5, q₂₃=3, q₃₁=2，且对角元 qᵢᵢ<0（i=1,2,3），状态 4 为吸收状态（q₄ⱼ=0, j≠4）。写出该链的嵌入链（跳跃链）转移概率矩阵的行支撑，并判断嵌入链的状态分类：哪些状态互通？A. 嵌入链中 1、2、3 互通，4 为吸收态　B. 嵌入链中 1、2、3、4 全部互通　C. 嵌入链中 1 与 2 互通，3、4 各自孤立　D. 嵌入链中 1→2→3→1 构成闭集，4 可达 1

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18. 设生灭过程 {X(t), t≥0} 的状态空间为 {0,1,2}，出生率 λ₀=3, λ₁=6（λ₂=0），死亡率 μ₁=2, μ₂=8。由平稳分布满足的细致平衡关系 πₙλₙ=πₙ₊₁μₙ₊₁ 及归一化条件，可得平稳分布中的 π₂=____。

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19. 设连续时间马尔可夫链状态空间为 {0,1,2}，转移率矩阵 Q 的非对角元素为：q₀₁=2, q₀₂=0；q₁₀=4, q₁₂=1；q₂₀=0, q₂₁=2。（1）写出该链的嵌入链（跳转链）的一步转移概率矩阵 P；（2）判定嵌入链各状态的类型（正常返、零返或瞬过）。

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20. 设生灭过程 {X(t), t≥0} 的状态空间为 {0,1,2,3}，出生率 λ₀=4, λ₁=2, λ₂=1（λₙ=0, n≥3），死亡率 μ₁=1, μ₂=2, μ₃=3。求其平稳分布中 π₃ 的值。

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21. 设连续时间马尔可夫链的状态空间为 {1,2,3}，转移率矩阵 Q 满足：q₁₁=-3, q₁₂=3；q₂₁=2, q₂₂=-2；q₃₁=1, q₃₂=5, q₃₃=-6。记其嵌入链（跳跃链）为 {Yₙ}。则在嵌入链中，从状态 3 出发下一步跳到状态 2 的概率为（　）。 A. 1/6　B. 5/6　C. 5/8　D. 1/2

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22. 设生灭过程 {X(t), t≥0} 的状态空间为 {0,1,2,3}，出生率 λ₀=1, λ₁=2, λ₂=3（λₙ=0, n≥3），死亡率 μ₁=4, μ₂=6, μ₃=8。若该过程存在平稳分布 {πₙ, n=0,1,2,3}，则 π₀ 等于多少？ A. 96/131 B. 24/131 C. 8/131 D. 3/131

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23. 设连续时间马尔可夫链的状态空间为 {1,2,3}，转移概率函数为 p_ij(t)，Q 矩阵为 Q=(q_ij)。已知 q₃₁=2，q₃₃=-7，且状态 3 只向状态 1、2 转移，则 p₃₂'(0) 等于多少？ A. 2　B. 5　C. 7　D. 9

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24. 设连续时间马尔可夫链的状态空间为 {1,2,3,4}，其 Q 矩阵为 Q = [ -6, 2, 3, 1; 1, -4, 0, 3; 2, 5, -8, 1; 0, 2, 1, -3 ]（第 i 行第 j 列元素为 q_ij）。试求 q₁₄ 及 p₃₃'(0) 的值。

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25. 设连续时间马尔可夫链的状态空间为 {1,2,3}，转移概率函数为 p_ij(t)，其 Q 矩阵为 Q=(q_ij)。已知 p₁₂'(0)=2，p₂₃'(0)=3，p₃₁'(0)=1，p₃₂'(0)=2，且从状态 2 出发在极短时间内跳向状态 1 与跳向状态 3 的倾向之比为 1:3（即 q₂₁:q₂₃=1:3）。试求 q₂₁、q₂₂、q₂₃ 及 p₂₂'(0)。

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26. 设连续时间马尔可夫链 {X(t), t≥0} 的状态空间为 {1,2,3}，转移率矩阵 Q 的非对角元素为：q₁₂=3；q₂₁=1, q₂₃=3；q₃₁=2, q₃₂=2，对角元 qᵢᵢ=-∑(j≠i)qᵢⱼ。(1) 写出该链的嵌入链（跳跃链）的一步转移概率矩阵 P；(2) 据嵌入链判断该连续时间马尔可夫链的状态分类（是否不可约、各状态的常返性）。

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27. 设连续时间马尔可夫链的状态空间为 {1,2,3}，转移概率函数为 p_ij(t)，其 Q 矩阵为（第 i 行第 j 列元素为 q_ij）：Q = [ -4, 1, 3; 0, -2, 2; 5, 1, -6 ]。则 p₃₁'(0) 等于多少？ A. 1　B. -6　C. 5　D. 6

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