大学随机过程上册《离散时间马尔可夫链》练习题

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本单元考点（4 个）

转移概率矩阵与CK方程状态的常返与瞬过分类周期与极限性质平稳分布的计算

本单元练习题（27 题）

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1. 设马尔可夫链 {X(n), n≥0} 的状态空间为 {0,1}，转移概率为 P(0,0)=0, P(0,1)=1, P(1,0)=1, P(1,1)=0。考察状态 0 的周期性：下列关于状态 0 的周期 d(0) 及 lim(n→∞) P^n(0,0) 的结论正确的是？ A. d(0)=1，且 lim(n→∞) P^n(0,0)=0 B. d(0)=2，且 lim(n→∞) P^n(0,0) 不存在 C. d(0)=2，且 lim(n→∞) P^n(0,0)=1/2 D. d(0)=0，且 lim(n→∞) P^n(0,0) 不存在

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2. 设马尔可夫链状态空间为 {1,2,3}，转移矩阵为 P = [[0,1,0],[1/2,0,1/2],[0,0,1]]。下列关于状态分类的结论正确的是： A. 三个状态均为常返态 B. 状态 1 与 2 常返，状态 3 瞬过 C. 仅状态 3 为常返态，状态 1 与 2 均为瞬过态 D. 仅状态 1 为瞬过态，状态 2 与 3 均为常返态

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3. 设马尔可夫链 {Xₙ, n≥0} 的状态空间为 {1,2,3,4,5}，一步转移概率为：p₁₂=1；p₂₁=1/2，p₂₃=1/2；p₃₂=1；p₄₄=1；p₅₄=1/2，p₅₅=1/2，其余 pᵢⱼ=0。试：（1）对每个状态判定其是常返态还是瞬过态，并指出各常返类；（2）求状态 4 的平均返回时间 μ₄；（3）求状态 5 的平均返回时间 μ₅。

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4. 设马尔可夫链 {Xₙ, n≥0} 的状态空间为 {1,2,3,4,5}，一步转移概率为：p₁₂=1；p₂₁=3/4，p₂₃=1/4；p₃₂=1/2，p₃₄=1/2；p₄₃=1；p₅₄=1/3，p₅₅=2/3。下列关于状态常返与瞬过分类的结论正确的是： A. 状态1是瞬过状态，因为从1出发到达2后以概率3/4回到1，且概率小于1 B. 状态1、2、3、4都是常返状态，状态5是瞬过状态 C. 状态5是常返状态，因为它有自环概率p₅₅=2/3 D. 状态3是瞬过状态，因为它以概率1/2可转移到状态4

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5. 设马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2,3,4}，一步转移概率矩阵为 P = [[1/2, 1/2, 0, 0], [0, 1/2, 1/2, 0], [0, 0, 1/2, 1/2], [1/4, 0, 0, 3/4]]。已知该链不可约且正常返，则其平稳分布 π = (π₁, π₂, π₃, π₄) = ____。

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6. 设马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2,3}，一步转移概率矩阵为 P = [[0, 1, 0], [1/4, 1/2, 1/4], [p, 0, 1-p]]，其中 0<p<1。若该链的平稳分布 π=(π₁,π₂,π₃) 满足 π₁=π₃，则 p 的值为（　） A. 1/4　B. 1/3　C. 1/2　D. 2/3

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7. 设马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2}，一步转移概率矩阵为 P = [[0.4, 0.6], [0.3, 0.7]]，则该链的平稳分布 π = (π₁, π₂) 为（　） A. (1/3, 2/3) B. (2/3, 1/3) C. (0.4, 0.6) D. (1/2, 1/2)

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8. 设马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间 I={0,1}，转移矩阵 P=[[0,1],[1,0]]。由任意状态出发，链经过偶数步后必定返回原状态，故状态 0 与状态 1 的周期均为 ____。因此对任意 i,j∈I，lim(n→∞) P⁽ⁿ⁾ᵢⱼ = ____（填：存在或不存在）。

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9. 设马尔可夫链 {Xₙ, n≥0} 的状态空间为 {0,1,2,3}，一步转移概率为：p₀₁=1；p₁₀=1/2，p₁₂=1/2；p₂₁=1/2，p₂₃=1/2；p₃₃=1。则状态 2 属于____状态（填“常返”或“瞬过”），该链的常返状态个数为____个。

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10. 设马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2}，一步转移概率矩阵为 P = [[1/2, 1/2], [1/4, 3/4]]。试利用 C-K 方程计算两步转移概率 p₁₁⁽²⁾ 与 p₁₂⁽²⁾。

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11. 设有限马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2,3,4}，一步转移矩阵为：第1行 (1/2, 1/2, 0, 0)；第2行 (1/3, 2/3, 0, 0)；第3行 (0, 0, 1/2, 1/2)；第4行 (0, 1/2, 0, 1/2)。则该链中常返状态共有____个，瞬过状态为____（按从小到大填写状态编号）。

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12. 设马尔可夫链 {Xₙ, n≥0} 的状态空间为 {1,2,3,4}，一步转移概率矩阵为 P = [[1/2, 1/2, 0, 0], [1/3, 2/3, 0, 0], [1/4, 1/4, 1/4, 1/4], [0, 0, 0, 1]]。请完成：(1) 判断各状态的常返性与瞬过性，并说明各状态的类别（是否吸收态、是否互通）；(2) 求该链的平稳分布 π = (π₁, π₂, π₃, π₄)，使得 πP = π 且 ∑πᵢ = 1。

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13. 设马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2,3}，一步转移概率矩阵为 P = [[1/2, 1/2, 0], [0, 1/2, 1/2], [1/2, 0, 1/2]]。求该链的平稳分布 π = (π₁, π₂, π₃)，其中 πᵢ ≥ 0 且 π₁ + π₂ + π₃ = 1。

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14. 设马尔可夫链 {Xₙ, n≥0} 的状态空间 I={0,1,2}，一步转移概率为 P(0,1)=P(1,2)=P(2,0)=1，其余转移概率均为 0。试求状态 0 的周期 d，并判断极限 lim(n→∞) P⁽ⁿ⁾(0,0) 是否存在；若存在，求其值。

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15. 设马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2,3}，一步转移概率矩阵为 P = [[1/3, 2/3, 0], [1/2, 1/2, 0], [0, 0, 1]]。由 C-K 方程，两步转移概率 p₂₂⁽²⁾ = ____。

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16. 设马尔可夫链 {Xₙ, n≥0} 的状态空间 I={0,1,2}，一步转移概率为 P(0,0)=1/2, P(0,1)=1/2, P(1,0)=1, P(2,1)=1，其余为 0。则状态 0 的周期 d 为（　）。 A. d=1 B. d=2 C. d=3 D. d=∞

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17. 设马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2}，一步转移概率矩阵为 P = [[1/2, 1/2], [1/4, 3/4]]。利用 C-K 方程计算三步转移概率，则 p₂₂⁽³⁾ = ____。

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18. 设马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2,3}，一步转移概率矩阵为 P = [[1/3, 2/3, 0], [0, 1/2, 1/2], [1/3, 0, 2/3]]，则该链的平稳分布中 π₃ 等于 A. 3/13　B. 4/13　C. 6/13　D. 2/13

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19. 设马尔可夫链 {Xₙ} 的一步转移概率矩阵为 P = [[1/2, 1/2], [1/3, 2/3]]，状态空间为 {1,2}。利用 C-K 方程先算出 P²，再算 P³，则三步转移概率 p₁₂⁽³⁾ = ____（用分数表示）。

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20. 设马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2}，一步转移概率矩阵为 P = [[1/4, 3/4], [2/3, 1/3]]。由 C-K 方程，两步转移概率 p₂₂⁽²⁾ = ____。

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21. 设马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2,3,4}，一步转移概率矩阵为 P = [[1/2, 1/2, 0, 0], [1/2, 0, 1/2, 0], [0, 1/2, 0, 1/2], [0, 0, 1/2, 1/2]]。若 π = (π₁, π₂, π₃, π₄) 是该链的平稳分布，则 π₁ + π₂ 的值为（　）。 A. 1/2　B. 1/3　C. 2/3　D. 3/4

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22. 设马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2,3}，一步转移概率矩阵为 P = [[0, 1, 0], [1/2, 0, 1/2], [0, 1, 0]]。若该链的平稳分布为 π = (π₁, π₂, π₃)，则 π₃ = ____

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23. 设马尔可夫链 {Xₙ, n≥0} 的状态空间为 {1,2,3,4}，一步转移概率为：p₁₁=1/3，p₁₂=2/3；p₂₁=1；p₃₃=1/4，p₃₄=3/4；p₄₃=1。则下列结论正确的是： A. 状态1与状态2均为常返态 B. 状态1瞬过，状态2常返 C. 状态3瞬过，状态4常返 D. 状态4瞬过，状态3常返

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24. 设马尔可夫链 {Xₙ, n≥0} 的状态空间为 {1,2,3}，一步转移概率为：p₁₁=1/2，p₁₃=1/2；p₂₂=1；p₃₁=1/4，p₃₃=3/4。试对每个状态判定它是常返状态还是瞬过（非常返）状态，并说明理由。

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25. 设马尔可夫链 {Xₙ, n≥0} 的状态空间为 {0,1,2,3,4}，一步转移概率为：p₀₁=1；p₁₂=1；p₂₁=1/2，p₂₃=1/2；p₃₃=1；p₄₀=1/2，p₄₄=1/2。其余 pᵢⱼ=0。请对该链的每个状态判定其是常返态还是瞬过态，并在注明理由后求该链的平稳分布 π=(π₀,π₁,π₂,π₃,π₄)。

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26. 设马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2,3}，一步转移概率矩阵为 P = [[1/3, 2/3, 0], [0, 1/2, 1/2], [1/4, 0, 3/4]]。试用 C-K 方程先求出两步转移概率矩阵 P²，再据此计算三步转移概率 P₁₂⁽³⁾ = P(X₃=2 | X₀=1)，要求结果写成分数形式。

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27. 设马尔可夫链 {X_n} 的状态空间为 {1,2,3}，一步转移概率矩阵为 P = [[1-a, a, 0], [1/3, 1/3, 1/3], [0, b, 1-b]]，其中 0<a<1，0<b<1。若该链的平稳分布为 π = (1/4, 1/2, 1/4)，求 a 和 b 的值。

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