大学固体物理上册《能带理论》练习题

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本单元考点（5 个）

布洛赫定理近自由电子近似与能隙紧束缚近似方法有效质量张量导体、半导体与绝缘体的能带判据

本单元练习题（27 题）

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1. 在紧束缚近似下，晶体中电子的能带可写为 E(k)=ε₀−J∑_R e^(ik·R)（只计最近邻）。对于简立方晶格（晶格常数为 a），最近邻共有 6 个，利用对称性求和可得 E(k)=ε₀−2J[cos(k_x a)+cos(k_y a)+cos(k_z a)]。该能带的带宽（最高能量与最低能量之差）为____（用 J 表示）。

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2. 某晶体的每个原胞含有2个价电子，其价电子恰能填满最低能带，该满带与其上能带之间的禁带宽度为5 eV。下列关于该晶体导电性的判断正确的是（　　） A. 该晶体是导体，因为存在部分填充的能带 B. 该晶体是绝缘体，因为最高占有能带为满带且禁带很宽 C. 该晶体是半导体，因为禁带宽度小于10 eV D. 该晶体是导体，因为价电子数为偶数

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3. 某简单立方晶格中，电子的紧束缚能带为 E(k)=E₀−2B[cos(k_x a)+cos(k_y a)]，其中 B>0，a 为晶格常数，k=(k_x,k_y)。定义有效质量张量的逆为 (m*⁻¹)ᵢⱼ=(1/ħ²)∂²E/∂kᵢ∂kⱼ。(1) 求 k=0 处的有效质量张量 m*；(2) 求 k=(π/(2a), 0) 处的有效质量张量 m*；(3) 说明第(2)问结果中某一分量为无穷大的物理含义。

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4. 某晶体每个原胞含有2个价电子，共有N个原胞。已知其能带结构中，第一与第二能带交叠（重叠区无禁带），第二与第三能带之间存在禁带宽度为1.2 eV的禁带，第三与第四能带交叠。下列关于该晶体导电性的判断正确的是：A. 满带中无空态，必然是绝缘体 B. 第一、二能带交叠后可容纳4N个电子，恰好填满，且其上存在禁带，故为半导体或绝缘体 C. 交叠使低能带不满、高能带有空态，存在导电电子，为导体 D. 禁带1.2 eV太大，必为绝缘体

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5. 一维晶格常数为 a 的周期势场中，单电子波函数按布洛赫定理可写为 ψ(x)=e^(ikx)u(x)，其中 u(x) 具有晶格周期性 u(x+a)=u(x)。现有甲、乙两位同学分别给出波函数：甲提出 ψ₁(x)=u₁(x)cos(πx/a)，其中 u₁(x) 满足 u₁(x+a)=u₁(x)；乙提出 ψ₂(x)=e^(iπx/(2a))u₂(x)，其中 u₂(x) 满足 u₂(x+a)=u₂(x)。请依据布洛赫定理判断：(1) 甲提出的 ψ₁(x) 是否满足布洛赫定理？若满足，写出与之对应的波矢 k 的取值（以 a 为单位表示）；若不满足，说明理由。(2) 乙提出的 ψ₂(x) 是否满足布洛赫定理？若满足，写出对应的波矢 k。(3) 总结布洛赫定理对晶体中单电子波函数形式的核心要求。

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6. 某二维正方晶格中，电子紧束缚能带为 E(k)=ε₀−2B[cos(k_x a)+cos(k_y a)]，B>0。由有效质量张量定义 [m*⁻¹]_(ij)=(1/ℏ²)∂²E/∂k_i∂k_j，在 Γ 点 k=(0,0) 处沿 [100] 与 [110] 方向的有效质量之比 m[100]*/m[110]* 等于多少？设 m 为自由电子质量。A. 1　B. 2　C. 1/2　D. √2

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7. 设一维晶格常数为 a 的一维晶格中，电子的紧束缚能带为 E(k)=E₀−2J cos(ka)，其中 J>0，E₀ 为常数。已知 ħ²/Ja² = 8（单位：kg），请回答：(1) 写出有效质量 m*(k) 的倒数 1/m*(k) 的表达式（用 ħ、J、a、k 表示）；(2) 分别求 k=0 和 k=π/(2a) 处的有效质量 m*（以 kg 为单位）。

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8. 在一维周期势场中，用近自由电子近似处理波矢 k = π/a 附近的电子态时，能隙产生的原因是什么？A. 电子间的库仑排斥作用 B. 周期势场中波矢相差倒格矢的两个自由电子态简并，微扰使其混合并劈裂 C. 电子自旋与轨道的耦合 D. 晶格振动的热涨落

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9. 一维晶格常数为 a 的周期势场中，单电子波函数 ψ(x) 若满足布洛赫定理，则平移算符 T(a) 作用于 ψ(x) 的结果为 T(a)ψ(x)=ψ(x+a)=λψ(x)，其中 λ 为确定复数。若某波函数形式为 ψ(x)=e^(ikx)u(x)，u(x+na)=u(x)（n 为任意整数），则 λ 的值是（　）A. e^(ika)　B. e^(−ika)　C. 1　D. e^(i2πx/a)

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10. 某晶格常数为 a=2Å 的一维晶体中，电子周期势场的 Fourier 分量 |U_G|=0.5 eV（G=2π/a）。在近自由电子近似下，自由电子能量在倒格矢 G 对应的 Bragg 平面处发生简并并被劈裂。若电子能量 E=ħ²k²/2m 的自由电子抛物线与该 Bragg 条件相截，则相截处的波矢大小为 k=____ Å⁻¹，由此形成的第一能隙宽度 Eg=____ eV。

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11. 在紧束缚近似下，一维原子链的能带可写为 E(k) = E₀ − A − 2B cos(ka)，其中 E₀、A、B 为常数且 B > 0。若已知该能带的带宽为 4 eV，则对同样的 hopping 参数 B，简单立方晶格中 s 态电子形成的能带 E(k) = E₀ − A − 2B[cos(kₓa) + cos(k_ya) + cos(k_z a)] 的带宽为____ eV。

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12. 设一维晶格常数为 a 的周期势场中，电子波函数为 ψ(x)。根据布洛赫定理回答：(1) 写出 ψ(x) 满足的一般形式；(2) 若某电子波函数为 ψ(x)=e^(ikx)u(x)，其中 u(x) 满足 u(x+a)=u(x)，求 ψ(x+a) 与 ψ(x) 的比值，并用其说明 k 的物理意义。

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13. 一维晶格常数为 a 的晶体中，电子波函数 ψ(x) 满足布洛赫定理，且已知平移算符 T(a) 作用于 ψ(x) 满足 T(a)ψ(x)=ψ(x+a)=e^(iπ/4)ψ(x)。(1) 写出该波函数对应的波矢 k 在第一布里渊区内的取值；(2) 求 T(4a)ψ(x)=ψ(x+4a) 与 ψ(x) 之比；(3) 判断 ψ(x+4a) 与 ψ(x) 是否描述同一量子态，并简述理由。

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14. 设简单立方晶格晶格常数为 a，某原子能级经紧束缚近似处理，只计最近邻交叠积分，得能带表达式 E(k)=C−2B[cos(k_x a)+cos(k_y a)+cos(k_z a)]，其中 C=2 eV，B=0.5 eV 为正的常数。第一布里渊区取 k_i∈[−π/a, π/a]。(1) 写出 Γ 点 k=(0,0,0) 处的电子能量 E_Γ；(2) 写出区边界顶角点 R 处（k_x a=k_y a=k_z a=π）的能量 E_R；(3) 求该能带的带宽 ΔE=E_R−E_Γ。

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15. 某二维简单晶格常数为 a 的晶体中，电子势场的 Fourier 分量 U 在倒格矢 G = (2π/a, 0) 处不为零，|U_G| = 0.8 eV。用近自由电子近似分析：当自由电子波矢 k 满足 k² = (k − G)² 时（即布拉格条件），两个简并平面波态发生强耦合。（1）写出布拉格条件在该情形下对应的 k 满足的几何关系（用 a 表示）；（2）求该处能隙的大小 Eg（用 eV 表示）。

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16. 某晶体每个原胞含2个价电子，若其第一与第二能带之间存在宽度为0.3 eV的禁带，则该晶体属于____（填：导体/半导体/绝缘体）；若每个原胞含8个价电子，且前四个能带被电子填满，第四、五能带间禁带宽达5 eV，则该晶体属于____。

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17. 在紧束缚近似下（只计最近邻交叠），二维正方晶格（晶格常数 a）的 s 带可写为 E(kx,ky)=ε₀−A−2B[cos(k_x a)+cos(k_y a)]，其中 B>0 为交叠积分。若该能带的带顶能量为 4.0 eV，带底能量为 2.0 eV，则交叠积分 B = ____ eV。

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18. 设一维晶格常数为 a 的周期势场中，电子波函数 ψ(x) 满足布洛赫定理，可写为 ψ(x)=u(x)e^(ikx)（u(x) 以 a 为周期）。已知该电子的波矢 k=2π/(3a)，则将 ψ(x) 平移一个晶格常数时，波函数获得的相位因子为 e^(iθ)，其中 θ=____；该相位因子的实部 Re(e^(iθ))=____。

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19. 在一晶格中，单电子波函数 ψ(r) 若满足布洛赫定理，则对任一晶格平移矢量 R，ψ(r+R) 与 ψ(r) 的关系只能表现为整体相位因子的改变。若某状态在平移 R 后，振幅变为原来的 1.2 倍而相位不变，该状态是否符合布洛赫定理？ A. 符合，因为相位因子可以包含振幅缩放 B. 不符合，因为布洛赫相位因子的模必须为 1 C. 符合，只要平移后波函数仍为单值 D. 不符合，因为布洛赫定理只适用于一维晶格

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20. 某晶体每个原胞含6个价电子，若其最低三个能带均被电子填满，且第三能带与第四能带之间的禁带宽度为4 eV，则该晶体属于____（填：导体/半导体/绝缘体）；若禁带宽度改为0.9 eV，则属于____；若每原胞只含2个价电子且最低能带与第二能带交叠，则属于____。

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21. 某晶格常数 a=4 Å 的一维晶体中，电子感受到的周期势场 Fourier 分量仅在 G=2π/a 处不为零，|U_G|=0.6 eV。按近自由电子近似，在布里渊区边界 k=____ m⁻¹ 处打开能隙，能隙宽度 Eg=____ eV，对应边界处电子的德布罗意波长 λ=____ Å。（h=6.63×10⁻³⁴ J·s）

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22. 一维晶格常数为 a 的晶体中，单电子波函数 ψ(x) 满足布洛赫定理，即可写成 ψ(x)=e^(ikx)u(x)，其中 u(x) 满足 u(x+a)=u(x)。设某电子处于波矢 k=π/(3a) 的布洛赫态，且已知在 x=x₀ 处 u(x₀)=1。求：(1) 该波函数经历晶格平移 2a 后，即 ψ(x₀+2a)/ψ(x₀) 的值；(2) 平移算符 T(2a) 的本征值；(3) 该电子波矢对应的相位因子每平移一个晶格常数 a 累积的相位角。

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23. 某晶体每个原胞含有3个价电子，共有N个原胞。已知其第一能带完全填满，第二能带仅被电子部分填充。下列关于该晶体导电性的判断正确的是（　　） A. 该晶体是绝缘体，因为存在已被填满的能带 B. 该晶体是导体，因为存在未被填满的能带，电子可在电场作用下导电 C. 该晶体是半导体，因为部分填充的能带与满带相邻 D. 该晶体导电性无法判断，还需知道禁带宽度

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24. 某二维正方晶格，晶格常数为 a，其单电子波函数 ψ(x,y) 满足布洛赫定理：对晶格平移矢量 R=ma+nb（m、n 为整数），有 ψ(x+ma, y+nb)=e^(i(mkx·a+nky·a))ψ(x,y)。已知波矢 kx=π/(3a)，ky=π/(2a)。设 ψ(0,0)=A（A≠0）。(1) 写出 ψ(x,y) 按布洛赫定理的一般形式；(2) 求 ψ(6a, 8a)/ψ(0,0) 的值；(3) 判断该状态在平移 R=6a+8b 下波函数值是否改变，并说明理由。

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25. 一维晶格常数为 a 的周期势场中，电子波函数 ψ(x) 满足布洛赫定理，可写为 ψ(x)=e^(ikx)u(x)，其中 u(x) 以 a 为周期。已知某电子态的波矢 k=π/(2a)。现将该波函数沿 x 方向平移 6a，即考察 T(6a)ψ(x)=ψ(x+6a)，则平移后波函数与原波函数之比 ψ(x+6a)/ψ(x) 等于（　） A. e^(i3π/2)　B. -1　C. e^(iπ/4)　D. 1

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26. 某晶体共有N个原胞，每个原胞含有5个价电子。设每条能带最多容纳2N个电子，且第一、二、三能带之间均无交叠。已知第一、第二能带之间的禁带宽度为0.5 eV。从能带填充情况判断：该晶体属于____（填：导体/半导体/绝缘体），其导电性判据在于最高被占据能带是否____（填：被填满/未被填满）。

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27. 某晶体共有N个原胞，每个原胞含有4个价电子，每条能带最多容纳2N个电子。已知第一、二能带之间存在禁带，而第二与第三能带发生交叠（交叠区无禁带），且第三能带被电子部分填充。下列关于该晶体导电性的判断正确的是（　　） A. 绝缘体，因为禁带阻隔了电子输运 B. 半导体，因为只有一条禁带 C. 导体，因为能带交叠导致存在未填满的能带 D. 导体，因为所有能带都被完全填满

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