大学固体物理上册《超导电性》练习题

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本单元考点（5 个）

零电阻与迈斯纳效应临界温度、临界磁场和临界电流伦敦方程与穿透深度BCS超导微观理论磁通量子化

本单元练习题（27 题）

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1. 关于超导体的基本性质，下列说法正确的是： A. 超导体电阻为零且内部磁感应强度恒为零，两者均可在一定条件下独立成立 B. 超导体电阻为零但不能完全排出体内磁场，磁场可穿透样品内部 C. 超导体电阻为零，且处于超导态时将体内磁场完全排出（迈斯纳效应），两者是超导体的独立基本属性 D. 超导体的迈斯纳效应只是电阻为零导致感应电流衰减的必然结果，并非独立性质

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2. 将某超导环先降温至临界温度以下（处于超导态），再施加外磁场后撤去外磁场；另一完全相同的超导环先加外磁场，再降温进入超导态后撤去外磁场。已知迈斯纳效应表明超导体内部磁感应强度恒为____，第一种情形环内因电磁感应被持续无衰减地维持的电流体现的是____效应（填“零电阻”或“迈斯纳”）；两种操作顺序所最终得到的环内磁通状态____（填“相同”或“不同”）。

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3. 某超导体的BCS能隙为 Δ(0)=1.40 meV（T=0时）。已知BCS理论给出 2Δ(0)=3.53kBTc，玻尔兹曼常量 kB=0.0862 meV/K。求：(1) 该超导体的临界温度 Tc（保留三位有效数字）；(2) 温度为 Tc 一半时，若某库珀对两电子动量大小均为 p，方向相反、自旋相反，写出该库珀对总自旋的数值；(3) 判断温度略高于 Tc 时该材料是否仍有迈斯纳效应，并说明理由。

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4. 一长直圆柱形铅样品处于超导态（T<Tc），沿轴向施加均匀外磁场，磁场强度 H=3.0×10⁴ A/m。已知铅超导态的磁化率满足完全抗磁条件，样品内部磁感应强度为零。（1）写出超导态内部 B、μ₀(H+M) 与 M 之间的关系，并求样品内部的磁化强度 M；（2）说明该现象体现的超导体基本特性，并解释为什么零电阻不能推出体内磁场恒为零；（3）若将外场撤去，样品内部磁感应强度为多少？

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5. 某超导体内超流电子数密度为 n_s 时，伦敦穿透深度 λ_L=100 nm。现因温度升高，超流电子数密度变为 n_s/9（电子有效质量与磁导率不变），此时穿透深度变为 λ'=300 nm。若超导体表面处（x=0）内部磁感应强度为 B₀，则按伦敦方程 B(x)=B₀e^(−x/λ')，在深度 x=900 nm 处磁感应强度与 B₀ 之比为 ____。

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6. 将一超导圆柱体置于温度T<Tc的超导态，沿轴向缓慢增加外加磁场，测得样品两端电压恒为零，同时样品内部磁感应强度始终为零。当外磁场增大到超过该温度下的临界磁场Hc时，样品内部磁感应强度突然不再为零，且两端出现非零电压。（1）指出外磁场超过Hc前样品表现出的两个基本电磁特性及其名称；（2）当外磁场超过Hc后，样品内部磁感应强度是否仍为零？两端电压是否仍为零？（3）说明仅凭零电阻能否解释样品内部磁感应强度恒为零的现象，并简述理由。

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7. 超导环中磁通量以磁通量子 Φ₀ = h/(2e) ≈ 2.07×10⁻¹⁵ Wb 为最小单位量子化。若某超导环中包含 3 个磁通量子，则环内磁通量最接近（　　） A. 6.21×10⁻¹⁵ Wb　B. 4.14×10⁻¹⁵ Wb　C. 2.07×10⁻¹⁵ Wb　D. 8.28×10⁻¹⁵ Wb

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8. 某超导体中库珀对密度对应的超流电子数密度为 n_s=2×10^28 m^(-3)，由伦敦方程可得穿透深度 λ_L=√(m/(μ₀ n_s e²))，已知该密度下 λ_L≈119 nm。若温度升高使 n_s 降为原值的 1/4，其他参数不变，则此时穿透深度为多少？ A. 59.5 nm B. 119 nm C. 178.5 nm D. 238 nm

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9. BCS理论指出，超导体中两个电子通过交换声子产生净吸引作用，从而结成库珀对。库珀对由两个动量相反、自旋相反的电子组成，其自旋为____（用整数或半整数表示）；由于库珀对作为整体带电荷量为____（用元电荷e的倍数表示），它在超导体中作无阻运动，这解释了超导体的零电阻现象。

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10. 某锡基超导体满足经验公式 Hc(T)=Hc(0)[1-(T/Tc)²]，已知其临界温度 Tc=50 K，零温临界磁场 Hc(0)=2.0×10^5 A/m。现将样品置于温度 T=30 K 的环境中，则该温度下超导体的临界磁场为____ A/m（用科学计数法表示）。

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11. 根据磁通量子化，超导环所包容的磁通量只能是磁通量子 Φ₀ = h/(2e) ≈ 2.07×10⁻¹⁵ Wb 的整数倍。设某超导环中包含 5 个磁通量子，试计算该环内被俘获的磁通量 Φ 的大小。

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12. 超导环中的磁通量以磁通量子 Φ₀ = h/(2e) ≈ 2.07×10⁻¹⁵ Wb 为最小单位量子化，即环内磁通量只能取 Φ = nΦ₀（n 为整数）。某超导环处于磁通量子化状态，实验测得环内总磁通量为 1.035×10⁻¹⁴ Wb，求该环中包含的磁通量子数 n。

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13. BCS超导微观理论认为，超导体中两个电子通过交换声子产生净吸引作用而结成库珀对。在 BCS 基态中，库珀对由两个动量大小相等、方向相反且自旋方向相反的电子组成，其总动量为____，总自旋为____（用整数或半整数表示）。

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14. 某超导体内超流电子数密度为 n_s 时，由伦敦方程推得的穿透深度为 λ_L=80 nm。若通过某种手段使超流电子数密度增大为原来的 4 倍，且电子有效质量与磁导率不变，则新的伦敦穿透深度为多少？ A. 20 nm　B. 40 nm　C. 160 nm　D. 320 nm

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15. 根据BCS超导微观理论及其同位素效应，超导转变温度 Tc 与晶格离子质量 M 满足 Tc ∝ M^(−1/2)（即同位素指数 α=1/2）。已知某元素超导体中同位素 A（离子质量 M₁=25 u）的超导转变温度为 Tc₁=6.0 K。现将样品替换为同位素 B（离子质量 M₂=36 u），其他条件不变。求同位素 B 的超导转变温度 Tc₂。

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16. 根据BCS超导微观理论，超导体中电子通过晶格振动形成束缚对。该束缚对使超导体在低于临界温度时表现出零电阻的主要原因是？ A. 库珀对形成相干宏观量子态，整体运动不易被单次散射破坏　B. 晶格停止热振动，电子不再受阻力　C. 电子自旋全部平行排列，形成顺磁性　D. 费米面消失，电子动能降为零

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17. 根据磁通量子化，超导环所包容的磁通量只能取 Φ = nΦ₀（n 为整数），其中磁通量子 Φ₀ = h/(2e) ≈ 2.07×10⁻¹⁵ Wb。设某超导环中包含 n = 5 个磁通量子，环所围面积为 4.14×10⁻¹⁰ m²，则环内磁通量及垂直环面的平均磁感应强度分别为（　　） A. 1.035×10⁻¹⁴ Wb，2.5×10⁻⁵ T B. 1.035×10⁻¹⁴ Wb，5.0×10⁻⁵ T C. 2.07×10⁻¹⁵ Wb，2.5×10⁻⁵ T D. 1.035×10⁻¹⁴ Wb，1.25×10⁻⁵ T

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18. 根据磁通量子化，超导环包围的磁通只能取磁通量子 Φ₀ = h/(2e) ≈ 2.07×10⁻¹⁵ Wb 的整数倍。某超导环的磁通态由 n = +7 变为 n = -3，即环内磁通量改变了 ΔΦ = ____Φ₀（用整数填空，写出倍数）。在此弛豫过程中环内总共输运的电荷量 Q = 10×2e = ____×10⁻¹⁸ C（e ≈ 1.6×10⁻¹⁹ C，填数值）。

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19. 超导环内磁通量满足磁通量子化，只能取磁通量子 Φ₀ = h/(2e) ≈ 2.07×10⁻¹⁵ Wb 的整数倍。若测得某超导环内总磁通量为 1.035×10⁻¹⁴ Wb，则该环所包含的磁通量子数 n = ____。

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20. 某超导体处于超导态（T<Tc）时电阻率ρ=____，内部磁感应强度B=____，这表明超导体不仅具有零电阻特性，还具有把体内磁场完全排出的效应，该效应称为____效应。

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21. 某长直圆柱形超导体处于超导态，沿轴向加外磁场，磁场强度 H=2.0×10⁴ A/m。由于迈斯纳效应，超导体内磁感应强度 B=μ₀(H+M)=0，由此可知体内磁化强度 M=____ A/m（用负号表示方向），对应的磁化率 χ=____。

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22. 某超导体临界温度为 Tc=7.2 K。现对该样品进行如下实验：先将其冷却至 T=4.2 K 使之进入超导态，然后沿样品轴向缓慢施加外磁场，磁场强度由零逐渐增大。已知该超导体处于超导态时具有完全抗磁性（磁化率 χ=-1）。（1）当外磁场强度 H=1.5×10⁴ A/m 时，求样品内部的磁感应强度 B 和磁化强度 M；（2）说明上述现象体现了超导体的哪一基本效应，并简述该效应与零电阻现象的区别。

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23. BCS理论给出超导转变温度公式 kBTc = 1.14ħωD·e^(−1/N(0)V)，其中 ωD 为德拜频率，N(0) 为费米面处单自旋电子态密度，V 为有效吸引作用强度。现有两种超导体甲和乙，它们的 N(0)V 完全相同，但乙的德拜频率是甲的 4 倍。已知甲的超导转变温度 Tc甲 = 2.05 K。求乙的超导转变温度 Tc乙。

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24. 某超导体的经验公式为 Hc(T)=Hc(0)[1-(T/Tc)²]，其临界温度 Tc=80 K，零温临界磁场 Hc(0)=1.2×10^5 A/m。当温度 T=40 K 时，该超导体的临界磁场 Hc(T) 为多少？A. 6.0×10^4 A/m　B. 9.0×10^4 A/m　C. 1.2×10^5 A/m　D. 3.0×10^4 A/m

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25. 根据BCS超导微观理论，下列关于库珀对与超导基态的表述中正确的是：当温度从0 K升高并逼近临界温度Tc时，超导体能隙Δ(T)的变化趋势及库珀对中两电子的关联方式为（　　）A. Δ(T)逐渐增大至Tc时达到最大，库珀对由动量相同、自旋相同的电子组成　B. Δ(T)逐渐减小，Tc时降为零，库珀对由动量大小相等、方向相反且自旋相反的电子组成　C. Δ(T)保持不变直至Tc时突然为零，库珀对由动量大小相等、方向相同且自旋相反的电子组成　D. Δ(T)逐渐减小，Tc时降为零，库珀对由动量大小相等、方向相反且自旋相同的电子组成

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26. 某铅铋合金超导体满足经验公式 Hc(T)=Hc(0)[1−(T/Tc)²]，其临界温度 Tc=10 K，零温临界磁场 Hc(0)=2.5×10⁵ A/m。若将该超导体置于 6 K 的环境中，则其临界磁场 Hc(6 K) 为多少？ A. 1.6×10⁵ A/m　B. 1.0×10⁵ A/m　C. 2.4×10⁵ A/m　D. 1.44×10⁵ A/m

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27. 某铌钛超导长直导线满足经验公式 Hc(T)=Hc(0)[1-(T/Tc)²]，已知其临界温度 Tc=7 K，零温临界磁场 Hc(0)=1.5×10⁵ A/m，导线半径 r=1 mm。(1) 求该超导体的临界温度 Tc 的数值；(2) 计算温度 T=3.5 K 时的临界磁场 Hc(3.5 K)；(3) 按表面磁场达到临界磁场的判据，估算该温度下导线能承载的最大临界电流 Ic=2πrHc。

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