大学固体物理上册《电子输运与费米面》练习题

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本单元考点（4 个）

玻尔兹曼输运方程弛豫时间近似与电导率费米面与电子输运性质磁阻效应

本单元练习题（27 题）

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1. 在某金属的自由电子气模型中，电子数密度 n=1.0×10²⁸ m⁻³，弛豫时间 τ=1.0×10⁻¹⁴ s。由玻尔兹曼输运方程在弛豫时间近似下推得电导率 σ=ne²τ/m，其中电子电荷 e=1.6×10⁻¹⁹ C，电子质量 m=9.1×10⁻³¹ kg。该金属电导率的数量级为：A. 10⁵ S/m　B. 10⁷ S/m　C. 10⁹ S/m　D. 10¹¹ S/m

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2. 某金属中电子的弛豫时间 τ=2×10⁻¹⁴ s，沿 x 方向施加恒定电场 E。在驰豫时间近似下，由玻尔兹曼输运方程 ∂f/∂t+v·∇ᵣf+(F/m)·∇ᵥf=−(f−f₀)/τ 稳态解可知，非平衡分布函数的一级修正为 δf=eτE(∂f₀/∂ε)vₓ。设该金属费米能级处单位能量区间的态密度因子已归一，若将电场强度增大为原来的 4 倍，同时把 τ 减半，则由 δf 表达式判断，稳态电流密度变为原来的几倍？A. 1 倍　B. 2 倍　C. 4 倍　D. 8 倍

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3. 在弛豫时间近似下，某金属的传导电子可视为各向同性的自由电子气：电子数密度 n=5×10²⁸ m⁻³，电子电荷量 e=1.6×10⁻¹⁹ C，弛豫时间 τ=2×10⁻¹⁴ s，且由能带计算得知电子在费米面附近的有效质量 m*=1.28×10⁻³⁰ kg。用含有效质量的电导率公式估算该金属的电导率，其量值为多少（单位：S/m）？ A. 5×10⁷　B. 1×10⁷　C. 2×10⁷　D. 4×10⁷

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4. 某金属处于温度接近 0 K 的平衡态，其费米面在 k 空间近似为球面。现沿 x 方向施加恒定弱电场 E，经弛豫时间 τ 后达到稳态。试问稳态时费米球整体在 k 空间中偏移的方向如何？ A. 沿电场 E 的方向偏移，偏移量为 eEτ/ħ B. 沿与电场 E 相反的方向偏移，偏移量为 eEτ/ħ C. 沿与电子平均速度相反的方向偏移，偏移量为 eEτ/ħ D. 费米球不发生任何偏移，仅费米面半径增大

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5. 在稳态、均匀电场 E 沿 x 方向、无温度梯度的条件下，金属中电子分布函数的偏离 g(k) = f − f₀ 满足线性化玻尔兹曼方程 −(eE/ħ)·(∂f₀/∂k_x) = −g(k)/τ。已知自由电子色散关系 ε = ħ²k²/(2m*)，弛豫时间 τ 为常数。将 f₀ 对 k_x 的偏导用 ∂f₀/∂ε 表示，则 (∂f₀/∂k_x) = ____ × ∂f₀/∂ε（用 ħ、k_x、m* 表示）。

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6. 某单价金属导带电子可视为自由电子气，测得其电子数密度 n = 4×10²⁸ m⁻³。在弱场条件下（仅有一种载流子），其霍尔系数 R_H = ____ m³/C（用负号表示电子型载流子，e = 1.6×10⁻¹⁹ C）。

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7. 某铜样品中自由电子数密度 n = 8.5×10²⁸ m⁻³，电子电荷量 e = 1.6×10⁻¹⁹ C，电子质量 m = 9.1×10⁻³¹ kg。已知在室温下测得其电导率 σ = 5.9×10⁷ Ω⁻¹·m⁻¹。设电子散射服从弛豫时间近似，请计算电子的弛豫时间 τ（结果保留两位有效数字）。

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8. 某简单金属的导带电子可视为自由电子气：单位体积内传导电子数 n=9.1×10²⁷ m⁻³，电子有效质量 m*=9.1×10⁻³¹ kg，在弱电场下作玻尔兹曼输运，弛豫时间近似下散射的弛豫时间 τ=2×10⁻¹⁴ s，元电荷 e=1.6×10⁻¹⁹ C。（1）从弛豫时间近似下的稳态玻尔兹曼方程出发，写出电导率的表达式：σ=____；（2）代入数据得该金属的电导率 σ=____×10⁶ S/m；（3）对应的迁移率 μ=eτ/m*=____×10⁻³ m²/(V·s)。

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9. 某金属可按自由电子气模型处理，导带电子数密度 n = 5×10²⁸ m⁻³，电子弛豫时间 τ = 4×10⁻¹⁴ s。已知 e = 1.6×10⁻¹⁹ C，m = 9.11×10⁻³¹ kg，ħ = 1.05×10⁻³⁴ J·s。求：(1) 该金属的霍尔系数 R_H（说明正负号）；(2) 电导率 σ；(3) 费米波矢 k_F 与费米速度 v_F（取 (3π²n)^(1/3) ≈ 1.14×10¹⁰ m⁻¹）。

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10. 某金属可视为自由电子气，电子数密度 n=2×10²⁸ m⁻³，弛豫时间 τ=3.2×10⁻¹⁴ s，电子质量 m=9.1×10⁻³¹ kg，元电荷 e=1.6×10⁻¹⁹ C。在沿 x 方向的恒定弱电场 E=9.1×10³ V/m 作用下，系统达到稳态。（1）从玻尔兹曼输运方程出发，在弛豫时间近似下写出稳态时分布函数偏离的形式，并推导电导率 σ 的表达式；（2）计算该金属的电导率 σ；（3）计算体电流密度 J 和电子平均漂移速度 v_d。

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11. 在弛豫时间近似下，某金属的传导电子可视为自由电子气，电子数密度 n=9.1×10²⁸ m⁻³，有效质量 m*=9.1×10⁻³¹ kg，电荷量 e=1.6×10⁻¹⁹ C。由玻尔兹曼方程可导出电导率 σ=ne²τ/m*。若弛豫时间 τ=2×10⁻¹⁴ s，则该金属的电导率 σ=____×10⁷ S/m。

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12. 某金属自由电子气中，电子数密度 n=4×10²⁸ m⁻³，费米速度 v_F=1.5×10⁶ m/s，弛豫时间 τ=5×10⁻¹⁴ s。玻尔兹曼输运方程在弛豫时间近似下的线性化解为 g(k)=eτ E·v(−∂f₀/∂ε)。由此可推得电导率 σ=ne²τ/m，并知平均自由程 l=v_F·τ。已知 e=1.6×10⁻¹⁹ C，m=9.1×10⁻³¹ kg。求：(1) 该金属的电导率 σ；(2) 电子的平均自由程 l。

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13. 某简单金属中传导电子可视为自由电子气，电子数密度 n=5×10²⁸ m⁻³，电子电荷量 e=1.6×10⁻¹⁹ C，电子质量 m=9.1×10⁻³¹ kg。实验测得该金属的直流电导率 σ=4.0×10⁷ S/m。在弱电场下输运可用玻尔兹曼方程的弛豫时间近似描述。（1）求弛豫时间 τ；（2）求电子迁移率 μ。

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14. 某立方结构金属在弱磁场下的横向磁阻可用单带模型近似，其电阻率相对变化率 Δρ/ρ₀ ≈ (μB)²，其中 μ 为载流子迁移率。若测得该金属的迁移率 μ = 0.2 m²/(V·s)，外加垂直磁场 B = 0.5 T，则其磁阻比值 Δρ/ρ₀ 为多少？ A. 0.25% B. 0.5% C. 1% D. 10%

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15. 某金属导带电子可按自由电子气模型处理，电子数密度 n = 8×10²⁸ m⁻³，弛豫时间 τ = 2×10⁻¹⁴ s。已知 ħ = 1.05×10⁻³⁴ J·s，电子质量 m = 9.1×10⁻³¹ kg，π 取 3.14。由费米面处电子的费米速度 v_F = ħk_F/m（k_F 为费米波矢，k_F = (3π²n)^(1/3)），可估算电子在两次散射之间的平均自由程 l = v_Fτ，其数值约为多少？ A. 1.2×10⁻⁸ m　B. 3.1×10⁻⁸ m　C. 6.3×10⁻⁸ m　D. 9.5×10⁻⁸ m

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16. 玻尔兹曼输运方程描述分布函数随时间、空间和速度空间的演化，通常包含时间演化项、空间对流项、外场作用项以及描述粒子间碰撞影响的一项；该描述碰撞影响的部分在方程中称为 ___。

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17. 在弛豫时间近似下，某金属中传导电子的弛豫时间为 τ。若温度不变而所有电子受到的散射作用减弱，使 τ 增大一倍，则该金属的电导率 σ 将如何变化？（设电子数密度与有效质量均不变） A. 增大一倍　B. 增大为原来的四倍　C. 减小一半　D. 保持不变

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18. 在弛豫时间近似下，玻尔兹曼输运方程稳态解表明：沿 x 方向施加恒定电场 E 时，自由电子费米球的中心将偏离原点，偏移量为 Δk = eEτ/ħ。某金属中 E = 1.0×10⁵ V/m，弛豫时间 τ = 1.25×10⁻¹⁴ s，取 ħ = 1.0×10⁻³⁴ J·s，e = 1.6×10⁻¹⁹ C，则费米球中心偏移量 Δk = ____ ×10⁶ m⁻¹（保留一位小数）。

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19. 某金属导带电子可按自由电子气模型处理，测得其费米能 E_F = 5 eV，弛豫时间 τ = 3×10⁻¹⁴ s。已知电子电荷 e = 1.6×10⁻¹⁹ C，电子质量 m = 9.11×10⁻³¹ kg，约化普朗克常量 ħ = 1.055×10⁻³⁴ J·s，1 eV = 1.6×10⁻¹⁹ J。求：(1) 费米速度 v_F；(2) 电子在费米面上的平均自由程 l = v_Fτ；(3) 该金属的电导率 σ = ne²τ/m，其中电子数密度 n 与费米波矢满足 k_F³ = 3π²n。结果保留三位有效数字。

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20. 在单带各向同性金属的弱磁场极限下，玻尔兹曼方程解得横向磁导率张量满足 σ_xx(B) = σ_xx(0)/(1+(μB)²)，σ_xy(B) = σ_xx(0)μB/(1+(μB)²)。据此，其电阻率张量的 ρ_xx 分量与零场值 ρ₀ 满足 ρ_xx(B) = ____，即横向磁阻 Δρ/ρ₀ 等于____；这表明仅存在一种迁移率的单一载流子带模型中，弱场横向磁阻效应为____（填“存在”或“消失”）。

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21. 在弛豫时间近似下，某金属中传导电子可视为自由电子气，单位体积电子数 n=2×10²⁸ m⁻³，电子电荷量 e=1.6×10⁻¹⁹ C，电子质量 m=9.1×10⁻³¹ kg，弛豫时间 τ=4×10⁻¹⁴ s。求该金属的电导率 σ（结果保留两位有效数字）。

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22. 在弛豫时间近似下，处于稳态、无温度梯度的均匀金属中沿 x 方向加恒定电场 E，线性化玻尔兹曼输运方程 −(eE/ħ)·∂f₀/∂k_x = −(f−f₀)/τ 的解为 f = f₀ + (eτE/ħ)·∂f₀/∂k_x，其中 ħ·Δk 代表费米球因电场获得的整体动量偏移。已知 e = 1.6×10⁻¹⁹ C，弛豫时间 τ = 2.5×10⁻¹⁴ s，电场 E = 5×10⁴ V/m，则费米球整体动量偏移 eEτ = ____ kg·m/s。

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23. 某简单金属的传导电子可视为自由电子气，单位体积内电子数 n=4×10²⁸ m⁻³，电子有效质量 m*=2m₀=1.82×10⁻³⁰ kg，电荷量 e=1.6×10⁻¹⁹ C。在弱电场下用玻尔兹曼方程的弛豫时间近似描述输运，测得弛豫时间 τ=2×10⁻¹⁴ s。求该金属的电导率 σ 与电阻率 ρ。

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24. 在弛豫时间近似下，某金属的传导电子气在弱电场中遵从玻尔兹曼输运方程。已知该金属的电导率 σ=1.28×10⁸ S/m，电子数密度 n=9.1×10²⁸ m⁻³，电子有效质量 m*=9.1×10⁻³¹ kg，电子电荷量 e=1.6×10⁻¹⁹ C。由公式 σ=ne²τ/m* 反推，该金属中电子的弛豫时间 τ=____ s。

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25. 在弛豫时间近似下，某金属的直流电导率为 σ = ne²τ/m。若将该金属的温度降低，使电子的弛豫时间 τ 变为原来的 4 倍，而电子数密度 n 与电子质量 m 保持不变，则电导率 σ 变为原来的多少倍？A. 1/4 倍　B. 2 倍　C. 4 倍　D. 16 倍

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26. 某金属导带电子可按自由电子气模型处理，费米面近似为球面，电子数密度 n = 9.1×10²⁸ m⁻³，弛豫时间 τ = 5×10⁻¹⁵ s。已知电子电荷 e = 1.6×10⁻¹⁹ C，电子质量 m = 9.1×10⁻³¹ kg。由玻尔兹曼方程在弛豫时间近似下，该金属的电导率 σ 为多少 S/m？ A. 1.28×10⁷　B. 1.28×10⁶　C. 6.4×10⁶　D. 2.56×10⁷

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27. 某金属的费米面近似为球面，导带电子可按自由电子气模型处理。在弱磁场下测得其霍尔系数 R_H = -1.25×10⁻¹⁰ m³/C，电阻率 ρ = 2×10⁻⁸ Ω·m。已知电子电荷 e = 1.6×10⁻¹⁹ C。现沿 z 方向施加磁感应强度 B = 2 T 的磁场，电流沿 x 方向。（1）求载流子数密度 n；（2）求电子迁移率 μ；（3）求霍尔角 θ 的正切值 tanθ。

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