大学固体物理上册《固体的热学性质》练习题

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本单元考点（4 个）

德拜模型与比热计算爱因斯坦模型低温比热的德拜T³律晶格热导率的基本机制

本单元练习题（27 题）

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1. 两块绝缘晶体甲、乙具有相近的德拜温度和相同的声子平均自由程。室温下甲的声子谱中高频光学支声子被显著激发并强烈散射声学声子，乙中光学支声子在室温几乎不被激发。仅从晶格热导率的基本机制判断，二者热导率较高的是： A. 甲，因为光学支声子数目多，输运热量的载流子更多 B. 乙，光学支声子对热流的净贡献小，散射声学声子反而降低热导率 C. 二者相同，热导率只由德拜温度决定 D. 二者相同，平均自由程相同则热导率必相同

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2. 某绝缘晶体服从德拜低温比热公式 C = (12π⁴/5)Nk_B(T/θ_D)³，其中 θ_D 为德拜温度，N 为原子数。现测得该晶体在温度 T₁ = θ_D/5 时摩尔热容为 C₁。若温度降至 T₂ = θ_D/10，且仍满足德拜 T³ 律，则此时的热容 C₂ 与 C₁ 之比 C₂/C₁ 为（提示：注意比热随温度变化的幂次，警惕误用线性外推） A. 1/2　B. 1/4　C. 1/8　D. 1/16

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3. 某晶态绝缘体在极低温区其摩尔定容热容服从 C_V,m = aT³（T≪θ_D），实验测得系数 a = 1.944×10⁻³ J·mol⁻¹·K⁻⁴。已知德拜低温比热公式中系数 12π⁴/5 ≈ 233.8，摩尔气体常量 R = 8.314 J·mol⁻¹·K⁻¹，且此时爱因斯坦模型的指数型比热预言与实验明显偏离而德拜模型适用。则该晶体的德拜温度 θ_D = ____ K，该 T³ 律成立所要求的温度条件可表述为 T ≪ ____（用符号表示）。

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4. 某单原子晶体近似用爱因斯坦模型处理，其爱因斯坦温度 θ_E = 300 K。已知 k_B = 1.38×10⁻²³ J/K，ħ = 1.055×10⁻³⁴ J·s。（1）由 θ_E = ħω/k_B 反推，晶体中原子的爱因斯坦角频率 ω ≈ ____ ×10¹³ rad/s（保留三位有效数字）；（2）当温度远高于 θ_E 时，该晶体的摩尔热容 C_V,m 趋于高温极限值 ____ J/(mol·K)（保留三位有效数字，R = 8.31 J/(mol·K)）。

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5. 某晶体包含 N = 3×10^23 个原子，采用爱因斯坦模型描述其晶格振动。设爱因斯坦温度 θ_E = 300 K，每个原子等效于 3 个频率均为 ω_E 的谐振子。已知在温度 T 时，每个振子的平均能量为 E = ħω_E/[e^(θ_E/T) − 1] + (1/2)ħω_E，玻尔兹曼常数 k_B = 1.38×10^(−23) J/K，h = 6.63×10^(−34) J·s。求：(1) 爱因斯坦角频率 ω_E；(2) 当 T >> θ_E 时，写出该晶体高温极限下每个振子平均能量的近似表达式，并求此时晶体的总内能（忽略零点能）。

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6. 某三维各向同性晶体可视为德拜固体，其德拜温度 θD = 500 K。在 T = 50 K 的低温区，德拜摩尔热容可取 Cv,m = (12π⁴/5)R(T/θD)³，其中 R = 8.314 J/(mol·K)，π⁴ ≈ 97.41。(1) 计算该温度下晶体的摩尔热容；(2) 求此摩尔热容与高温杜隆-珀蒂值 3R 的比值（结果保留三位有效数字）。

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7. 某绝缘晶体在室温下的体积热容为 C_V = 3.0×10⁶ J/(m³·K)，声子平均速率为 v = 5×10³ m/s。实验测得该晶体室温下的晶格热导率为 κ = 50 W/(m·K)。请利用声子气体模型中热导率的表达式 κ = (1/3)C_V·v·l，计算此时声子的平均自由程 l（以 nm 为单位表示），并据此说明晶格热导率由哪些微观因素决定。

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8. 某三维晶体可视为德拜固体，德拜温度 θD = 800 K。已知在 T₁ = 20 K 时，其德拜摩尔热容为 0.25 J/(mol·K)。在低温区德拜模型下 Cv,m ∝ T³，则 T₂ = 80 K 时该晶体的摩尔热容为（　） A. 2 J/(mol·K)　B. 4 J/(mol·K)　C. 16 J/(mol·K)　D. 64 J/(mol·K)

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9. 某绝缘晶体的德拜温度 θ_D = 500 K。在极低温区（T≪θ_D），其摩尔定容热容服从德拜 T³ 律 C_V,m = (12π⁴/5)R(T/θ_D)³，其中 R = 8.314 J·mol⁻¹·K⁻¹。当温度 T = 25 K 时，该晶体的摩尔定容热容约为____ J·mol⁻¹·K⁻¹（保留三位有效数字）。

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10. 某绝缘晶体低温下声子以声学支为主，其体积热容 C_V = 3.6×10⁶ J/(m³·K)，声子平均群速 v = 5×10³ m/s，测得晶格热导率 κ = 300 W/(m·K)。设声子平均自由程 l 决定热导率，且 κ = (1/3)·C_V·v·l。若升温后发生倒逆（Umklapp）过程使声子间动量不再守恒，l 缩短为原来的 1/5，则升温后的热导率为____ W/(m·K)，此时声子平均自由程 l =____ m。

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11. 某三维各向同性晶体可视为德拜固体，其德拜温度 θD = 500 K。在 T = 10 K 的低温区，德拜摩尔热容可取 Cv,m = (12π⁴/5)R(T/θD)³，其中 R = 8.31 J/(mol·K)。则该晶体在 T = 10 K 时的摩尔热容 Cv,m = ____ J/(mol·K)。（结果保留两位有效数字）

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12. 某绝缘晶体中声子以声学支为主，其体积热容为 C_V = 2.0×10⁶ J/(m³·K)，声子平均群速为 v = 2.5×10³ m/s，实验测得该晶体在对应温度下的声子平均自由程为 l = 12 nm。已知晶格热导率可由运动学公式 κ = (1/3)C_V·v·l 估算，求该晶体的晶格热导率 κ。

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13. 绝缘晶体中热量主要由声子输运，晶格热导率可写为 κ = (1/3)C_V·v·l。某绝缘晶体在某温度下体积热容 C_V = 3.0×10⁶ J/(m³·K)，声子平均速率 v = 4×10³ m/s，测得晶格热导率 κ = 3×10² W/(m·K)。由此可知该温度下声子平均自由程 l = ____ nm；若温度继续升高使声子间散射加剧、平均自由程减小，而 C_V 与 v 近似不变，则热导率将____（填增大/减小）。

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14. 根据德拜模型，当温度远低于德拜温度（T ≪ θ_D）时，固体的摩尔定容热容 C_V,m ∝ T³。若某绝缘晶体的温度由 4 K 升高到 16 K（仍满足 T ≪ θ_D），则其摩尔定容热容增大为原来的多少倍？A. 4 倍　B. 16 倍　C. 64 倍　D. 256 倍

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15. 某三维晶体可视为德拜固体，德拜温度 θD = 600 K。在远低于 θD 的温度下，其德拜摩尔热容满足 Cv,m = (12π⁴/5)R(T/θD)³。已知 T₁ = 50 K 时摩尔热容约为 1.125 J/(mol·K)，若温度升至 T₂ = 150 K（仍可近似用 T³ 律），其摩尔热容变为多少？ A. 3.375 J/(mol·K)　B. 9.000 J/(mol·K)　C. 30.375 J/(mol·K)　D. 33.750 J/(mol·K)

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16. 某绝缘晶体中热量主要由声子输运，晶格热导率可写为 κ = (1/3)C_V·v·l，其中 C_V 为体积热容，v 为声子平均群速，l 为声子平均自由程。在较高温度下，该晶体中倒逆（Umklapp）三声子过程是限制声子平均自由程的主导散射机制。实验测得该晶体在某温度下：体积热容 C_V = 2.4×10⁶ J/(m³·K)，声子平均群速 v = 4×10³ m/s，晶格热导率 κ = 1.6×10³ W/(m·K)。求：(1) 此温度下声子的平均自由程 l；(2) 将 l 与晶格常数（约 3×10⁻¹⁰ m）比较，说明为何倒逆过程是主导的热阻机制。

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17. 某晶体的德拜温度 θD = 300 K，温度 T = 150 K 时处于低温区，按德拜模型其摩尔热容正比于 T³。已知当 T = θD/10 = 30 K 时摩尔热容为 C₁，则 T = 150 K 时的摩尔热容与 C₁ 之比为（　） A. 5　B. 25　C. 125　D. 625

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18. 某单原子晶体的德拜温度 Θ_D = 300 K。在低温区（T ≪ Θ_D），其摩尔定容热容遵守德拜 T³ 律。当温度从 30 K 降为 10 K 时，该晶体的摩尔热容变为原来的____倍。

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19. 在其他条件相同的情况下，升高温度会使绝缘晶体中声子间的散射加剧，导致声子平均自由程减小。这一变化使晶格热导率发生怎样的改变？其原因是下列哪一项？ A. 增大，因为声子数目增多，能量输运载体增加 B. 减小，因为平均自由程减小使声子输运能量的效率降低 C. 不变，因为声子速率与热容都与平均自由程无关 D. 先增大后减小，与温度无关

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20. 某绝缘晶体在 T₁=300 K 时体积热容为 C_V=3.0×10⁶ J/(m³·K)，声子平均速率为 v=3×10³ m/s，声子平均自由程为 l₁=8 nm。已知该晶体处于低温区，体积热容满足德拜 T³ 律 C_V∝T³，而声子平均自由程由倒逆散射主导，满足 l∝1/T。求当温度降至 T₂=150 K 时，该晶体的晶格热导率 κ₂ 是多少 W/(m·K)（结果保留为整数）。

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21. 某单原子晶体共含 N = 2×10^23 个原子，用爱因斯坦模型描述其晶格振动，所有原子均以相同频率 ω_E 振动，每个原子等效于 3 个独立谐振子。已知爱因斯坦温度满足 k_B·θ_E = ħ·ω_E，其中 θ_E = 150 K，k_B = 1.38×10^-23 J/K。求：该晶体全部振子零点能的总和（即 T=0 时晶格振动的总能量），以焦耳为单位。

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22. 绝缘晶体的晶格热导率可近似写为 κ = (1/3)C_V·v·l，其中 C_V 为体积热容，v 为声子平均速率，l 为声子平均自由程。现有两块绝缘晶体：甲在室温下 C_V = 2×10⁶ J/(m³·K)，v = 3×10³ m/s，l = 4 nm；乙在室温下 C_V = 3×10⁶ J/(m³·K)，v = 2×10³ m/s，l = 2 nm。则甲、乙两晶体室温下晶格热导率之比 κ_甲 : κ_乙为：A. 1 : 1　B. 2 : 1　C. 3 : 2　D. 4 : 3

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23. 某单原子晶体用爱因斯坦模型处理，所有原子以相同角频率 ω_E = 6×10^13 rad/s 振动。已知 ħ = 1.055×10^(-34) J·s，k_B = 1.38×10^(-23) J/K，R = 8.31 J/(mol·K)。（1）该晶体的爱因斯坦温度 θ_E = ħω_E/k_B ≈ ____ K（保留到个位）；（2）当温度 T 远大于 θ_E 时，由爱因斯坦模型可得其摩尔热容趋于 ____ J/(mol·K)（保留三位有效数字）。

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24. 绝缘晶体中热量主要依靠声子输运来传递，晶格热导率由 κ=(1/3)C_V·v·l 描述。声子平均自由程 l 由散射机制决定：三声子过程中真正对热流产生“电阻”、能改变声子总动量从而限制热导的散射过程称为____散射；而总动量守恒的正规（N）过程不直接限制热流。此外，晶体中的缺陷、杂质和晶界也能散射声子，使 l 减小、热导率降低。

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25. 某绝缘晶体的晶格热导率满足 κ = (1/3)C_V·v·l，其中 C_V 为体积热容，v 为声子平均速率，l 为声子平均自由程。实验测得该晶体在某温度下 κ = 3.6 W/(m·K)，体积热容 C_V = 2.7×10⁶ J/(m³·K)，声子平均自由程 l = 4 nm。求：(1) 声子的平均速率 v；(2) 由散射决定的声子平均弛豫时间 τ = l/v。

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26. 两块成分相同的绝缘晶体处于同一温度，热容与声子平均速率近似相等。晶体乙中存在较多点缺陷，晶体乙的晶格热导率与甲相比如何变化？其主要机制是下列哪一项？ A. 乙较大，因为点缺陷提高了声子群速 B. 乙较小，因为点缺陷使声子受到额外散射，平均自由程缩短 C. 乙较大，因为点缺陷增大了声子数密度 D. 乙较小，因为点缺陷降低了晶体的体积热容

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27. 某单原子晶体采用爱因斯坦模型处理，已知其爱因斯坦温度 θ_E = 240 K，每个原子等效于 3 个频率均为 ω_E 的一维谐振子。已知 k_B = 1.38×10⁻²³ J/K，ħ = 1.055×10⁻³⁴ J·s。（1）求该模型中原子振动的角频率 ω_E；（2）求每个谐振子相邻能级的能量间隔 ΔE = ħω_E。

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