大学固体物理上册《自由电子气模型》练习题

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本单元考点（5 个）

Drude模型的基本假设费米-狄拉克分布函数费米能与费米动量自由电子气的态密度电子比热与经典值的差异

本单元练习题（27 题）

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1. 某金属的费米温度 T_F = 5.0×10⁴ K，在室温 T = 300 K 下，其传导电子的摩尔比热约为 γT（索末菲膨胀结果）。若与经典能量均分定理给出的摩尔比热 (3/2)R 相比，该金属的电子摩尔比热约为经典值的多少倍？A. 约 1/500　B. 约 1/50　C. 约 1/10　D. 约 1/5

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2. 在三维自由电子气模型中，态密度满足 g(E) ∝ E^(1/2)（E 为单电子能量）。若某金属的费米能为 E_F，则当电子能量 E = E_F/4 时，其态密度 g(E_F/4) 与 g(E_F) 之比为多少？ A. 1/4　B. 1/2　C. 1/8　D. 2

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3. Drude 自由电子气模型将金属中的传导电子视为经典气体，基本假设包括：电子在两次碰撞间自由运动，碰撞时间平均为 τ；电子在外场作用下的漂移运动服从牛顿第二定律，碰撞使其速度随机化；忽略电子间的相互作用。现某金属中传导电子数密度 n = 5×10²⁸ m⁻³，电子平均碰撞时间 τ = 4×10⁻¹⁴ s，电子电荷 e = 1.6×10⁻¹⁹ C，电子质量 m = 1.6×10⁻³⁰ kg。请依据 Drude 模型： (1) 推导电导率表达式 σ = ne²τ/m 并代入数据计算 σ； (2) 计算该金属的电阻率 ρ。

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4. 三维自由电子气中，能量低于 E 的单电子量子态总数与 E^(3/2) 成正比，即 N(E) = A·E^(3/2)（A 为常数）。某金属自由电子气在绝对零度时电子全部填满费米能 E_F 以下的能级。试计算：能量在 0 到 E_F/16 之间的电子数占电子总数的比例；以及能量 E = E_F/16 处的态密度 g(E) = dN/dE 与费米面处态密度 g(E_F) 之比。

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5. 二维自由电子气中，态密度为常数 g₀（单位：J⁻¹·m⁻²）。现将同一电子气限制在面积缩小为原来 1/4 的区域中，且电子能谱仍可视为二维自由电子气。若缩放后能量为 E 处的态密度为 6.0×10^40 J⁻¹·m⁻²，则原区域中该能量处的态密度为____ J⁻¹·m⁻²；由二维态密度与面积的标度关系可知，缩放前后同一能量处态密度之比（缩小后/原来）为____。

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6. 根据量子自由电子气模型，温度 T ≪ T_F 时电子摩尔比热 C_e = (π²/2)Z R(T/T_F)，其中 Z 为每原子的价电子数，R 为气体常数；而经典能量均分定理给出 C_cl = (3/2)ZR。设某单价金属的费米温度 T_F = 3×10⁴ K，室温 T = 300 K，则该金属电子摩尔比热与经典理论值之比约为：A. 1/3　B. 1/10　C. 1/30　D. 1/100

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7. 金属电子气处于温度 T 的平衡态，化学势为 μ，费米-狄拉克分布函数为 f(E)=1/(e^((E−μ)/(kT))+1)。已知能量 E₁ 处电子占据概率 f(E₁)=1/9。若另一能级 E₂ 满足 E₂−μ=−(E₁−μ)，则 f(E₂) 等于 A. 1/9 B. 8/9 C. 4/9 D. 1/3

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8. 某金属中传导电子的费米温度 T_F = 6.0×10⁴ K。在 T = 300 K 的低温（T≪T_F）下，按索末菲膨胀结果，电子气的摩尔比热为 c_e = (π²/2)R(T/T_F)。经典能量均分定理则给出传导电子的摩尔比热为 c_cl = (3/2)R。求该温度下电子摩尔比热 c_e 与经典值 c_cl 之比 c_e/c_cl（结果保留两位有效数字）。

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9. 金属中自由电子气处于温度 T 的平衡态，费米能级为 E_F，电子占据能量为 E 的量子态的概率服从费米-狄拉克分布 f(E)=1/(e^((E−E_F)/(kT))+1)。若某能级的电子占据概率恰为 0.9，则该能级能量比 E_F 低 ____（用 kT 表示）。

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10. 某二价金属的费米温度 T_F = 8.0×10⁴ K。在 T = 400 K（T≪T_F）下，按索末菲膨胀，每个传导电子的比热为 (π²/2)k_B(T/T_F)；而经典能量均分定理给出每个电子的比热为 (3/2)k_B。则在给定温度下，传导电子量子比热与经典能量均分预言值之比为 ____（用分数或小数表示）。

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11. 某单价金属的费米温度 T_F = 3.3×10⁴ K。在 T = 100 K（T≪T_F）下，按索末菲膨胀，传导电子的摩尔比热为 C_e = (π²/2)ZR(T/T_F)，而经典能量均分定理给出的摩尔比热为 C_cl = (3/2)R（Z=1）。取 π²/3 ≈ 3.29，则 C_e/C_cl 最接近下列哪个值？ A. 约 1/100 B. 约 1/3 C. 约 1/10 D. 约 3

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12. 根据自由电子气模型，在室温（T≪T_F）下，金属中电子对比热的贡献与经典能量均分定理的预言显著不同。下列关于二者差异的表述正确的是：A. 电子比热与温度无关，与经典值相同 B. 电子比热远小于经典值，且近似与温度 T 成正比 C. 电子比热远大于经典值，且与温度 T 无关 D. 电子比热随温度升高而指数增大，远超经典值

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13. 在费米-狄拉克分布中，系统处于热平衡时电子占据能量为 E 的量子态的概率为 f(E) = 1/(e^((E−E_F)/(kT)) + 1)，其中 E_F 为费米能级。当 E = E_F 时，f(E) = ____；当温度 T→0 时，对于 E < E_F 的能级，f(E) = ____。

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14. 某金属中自由电子气的费米动量为 k_F = 2.0×10¹⁰ m⁻¹，已知 ħ²/(2m_e) = 3.81 eV·Å²，ħ/m_e = 1.16×10⁻¹⁰ m²/s。试计算该电子气的费米能 E_F = ____ eV，以及费米速度 v_F = ____×10⁶ m/s。

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15. 金属中自由电子服从费米-狄拉克分布 f(E)=1/(e^((E−E_F)/(k_BT))+1)。某温度下，能量 E₁ 处电子占据概率为 f(E₁)=1/5，且已知 E₁−E_F=k_BT·ln4。另有能级 E₂，满足 E₂−E₁=k_BT·ln4。则 f(E₂)=____。

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16. 金属中电子气处于温度 T 的平衡态，化学势为 μ。已知某能级 E₁ 处电子的费米-狄拉克分布函数值 f(E₁)=1/25。（1）用 kT 表示 E₁−μ；（2）设 E₂=μ−kT·ln3，求该能级的分布函数值 f(E₂)（用分数表示）。

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17. 设某金属中传导电子可视为自由电子气，电子数密度 n = 2.5×10²⁸ m⁻³。已知电子质量 m = 9.11×10⁻³¹ kg，约化普朗克常量 ħ = 1.055×10⁻³⁴ J·s，1 eV = 1.60×10⁻¹⁹ J。（1）求费米动量 p_F；（2）求费米能 E_F（分别用焦耳和电子伏特表示）。

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18. 下列关于Drude模型基本假设的表述中，正确的是： A. 电子之间存在强烈的库仑相互作用，不能忽略 B. 电子在两次碰撞之间作自由运动，碰撞是瞬时且随机的，平均碰撞时间间隔为 τ C. 电子的运动必须用量子力学的薛定谔方程描述 D. 电子在金属中完全不能移动，被紧紧束缚在格点附近

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19. 金属中自由电子气处于温度 T 的热平衡态，电子占据能量为 E 的量子态的概率服从费米-狄拉克分布 f(E)=1/(e^((E−μ)/(kT))+1)，其中 μ 为化学势。已知某能级 E₁ 满足 E₁−μ=kT·ln25。（1）求该能级上电子的占据概率 f(E₁)，结果写成分数；（2）另有能级 E₂ 位于费米能级下方，且 μ−E₂=kT·ln25，求 f(E₂)，结果写成分数。

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20. 将某金属中的传导电子视为三维自由电子气，测得其费米能为 E_F = 34.29 eV。已知 ħ²/(2m_e) = 3.81 eV·Å²，则费米波矢 k_F = √(2m_e·E_F)/ħ = ____ ×10¹⁰ m⁻¹。

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21. Drude模型的基本假设：金属中的传导电子与离子实发生碰撞，每次碰撞后电子速度的方向变为随机，且电子在相邻两次碰撞之间____（填写其运动状态特征）；设电子平均每经过时间τ发生一次碰撞，则τ称为电子的____。

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22. 某金属中传导电子可视为三维自由电子气，测得其费米能为 E_F = 15.24 eV。已知 ħ²/(2m_e) = 3.81 eV·Å²，ħ/m_e = 1.16×10⁻⁴ m²·s⁻¹。由 E_F = ħ²k_F²/(2m_e) 可得费米波矢 k_F = ____ m⁻¹，相应的费米速度 v_F = ħk_F/m_e = ____ m/s。

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23. 自由电子气处于温度 T 的平衡态，化学势为 μ，电子占据能量为 E 的量子态的概率服从费米-狄拉克分布 f(E)=1/(e^((E−μ)/(kT))+1)。当 E=μ 时，分布函数值 f(μ) 等于多少？ A. 1/2 B. 1 C. 1/e D. 0

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24. 在 Drude 自由电子气模型中，金属传导电子被视为经典粒子气体：电子在两次碰撞之间作自由运动，碰撞是瞬时的且使电子速度方向随机化。已知某金属中电子的平均碰撞时间 τ = 2.0×10⁻¹⁴ s（即相邻两次碰撞之间的平均自由时间）。求：(1) 每个电子平均每秒发生碰撞的次数；(2) 若 τ 增大到 2 倍而其他条件不变，每秒碰撞次数变为原来的多少倍？

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25. Drude自由电子气模型把金属中的传导电子处理为经典气体：电子在两次碰撞之间作自由运动，碰撞瞬时且随机，每次碰撞后电子速度方向完全随机化，弛豫时间平均为 τ。设某金属传导电子数密度 n=9×10^28 m⁻³，电子电荷量 e=1.6×10⁻¹⁹ C，电子质量 m=9×10⁻³¹ kg，弛豫时间 τ=2.5×10⁻¹⁴ s。请依据模型的基本假设推导电导率 σ 的表达式，计算该金属的电导率 σ 与电阻率 ρ。

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26. 单价金属中传导电子可视为自由电子气，其费米温度 T_F = 9.87×10⁴ K，每个原子贡献一个传导电子。在室温 T = 300 K（T≪T_F）下，取气体常数 R = 8.31 J/(mol·K)，π² ≈ 9.87。已知索末菲膨胀给出电子气的摩尔比热 C_e = (π²/2)Z R (T/T_F)，其中 Z 为每原子传导电子数；而经典能量均分定理对每个电子给出 (3/2)R 的摩尔比热贡献。请求出：(1) 该金属电子气的摩尔比热 C_e；(2) C_e 与经典值 (3/2)R 之比，并说明该结果反映了电子比热与经典值怎样的差异。

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27. 在一维自由电子气模型中（忽略自旋简并因子随能量的变化），态密度满足 g(E) ∝ E^(-1/2)（E 为单电子能量，E>0）。若某金属的费米能为 E_F，则当电子能量 E = E_F/9 时，其态密度与 E = E_F 处态密度之比 g(E_F/9)/g(E_F) 等于 A. 1/3 B. 3 C. 9 D. 1/9

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