大学数值分析（大学通用）上册《函数逼近与曲线拟合》练习题

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本单元考点（5 个）

函数逼近与范数概念最佳平方逼近多项式正交多项式及其性质最小二乘曲线拟合方法切比雪夫逼近基本概念

本单元练习题（18 题）

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1. 在线性空间 C[0,1] 上定义范数 ‖f‖ = (∫₀¹ f²(x)dx)^(1/2)。设 M 为全体常函数构成的一维子空间，则 f(x)=x 到 M 的最佳平方逼近元素为常函数 c=____（用分数表示），对应的最佳逼近误差 ‖x−c‖ 的值为____（用形如 a/b 或 √m/a 的精确式表示）。

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2. 在区间 [−1,1] 上，勒让德多项式 Pₙ(x) 满足正交性质：对任意非负整数 m≠n，有 ∫₋₁¹ Pₘ(x)Pₙ(x)dx=0。已知 P₀(x)=1，P₁(x)=x。则 ∫₋₁¹ x³·P₂(x)dx 的值（提示：x³ 可表示为 P₃(x) 与 P₁(x) 的线性组合）为 A. 2/5　B. 0　C. 2/7　D. 1/3

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3. 在线性空间 C[0,1] 中定义范数 ‖f‖ = max_{0≤x≤1} |f(x)|，记由函数 g(x)=2x 张成的一维子空间为 S。设 f(x)=x+3，则 f 与 S 的距离（即 min_{c∈R} ‖f - c·g‖）等于 ____。

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4. 设 f(x) 在 [0,1] 上连续，定义范数 ‖f‖ = max₀≤x≤1 |f(x)|，则该范数属于下列哪一类？ A. L² 范数（平方平均范数） B. 一致范数（无穷范数） C. 一阶矩范数 D. 加权 L¹ 范数

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5. 在区间 [−1,1] 上，勒让德（Legendre）多项式族 {P₀, P₁, P₂, …} 关于权函数 ρ(x)=1 构成正交多项式系。已知 P₀(x)=1，P₁(x)=x，P₂(x)=(3x²−1)/2，且∫₋₁¹ P₂²(x)dx = 2/5。则 ∫₋₁¹ P₂(x)P₁(x)dx =（　） A. 2/5 B. 2/3 C. 0 D. 2

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6. 关于区间 [−1,1] 上的切比雪夫多项式，下列叙述正确的是：切比雪夫多项式 T₃(x) 的表达式及其首项系数分别为（　　） A. T₃(x)=4x³−3x，首项系数为 4 B. T₃(x)=8x³−4x，首项系数为 8 C. T₃(x)=2x³−x，首项系数为 2 D. T₃(x)=x³−3x，首项系数为 1

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7. 设 f(x)=x² 在区间 [0,1] 上的二次最佳平方逼近问题，求其一次最佳平方逼近多项式 p₁(x)=a₀+a₁x。已知法方程组为 a₀+a₁/2=1/3，a₀/2+a₁/3=1/4，则 a₁=____

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8. 已知数据点 (1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,6)，用一次多项式 y=a+bx 作最小二乘拟合，则拟合系数 a 的值为（　） A. 1/2　B. 1/4　C. 3/4　D. 1

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9. 设 f(x)=x³ 在区间 [0,1] 上的一次最佳平方逼近多项式为 p(x)=a₀+a₁x（权函数 ρ(x)≡1）。由法方程解得 a₁ 与 a₀，则 a₀+a₁ 的值为（　） A. 7/10 B. 9/10 C. 3/10 D. 1/4

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10. 在区间 [−1,1] 上，切比雪夫（Chebyshev）多项式族 {T₀, T₁, T₂, …} 关于权函数 ρ(x)=1/√(1−x²) 构成正交多项式系，即当 m≠n 时，∫₋₁¹ Tₘ(x)Tₙ(x)/√(1−x²)dx=0，且 ∫₋₁¹ T₀(x)²/√(1−x²)dx=π。已知 T₁(x)=x，则积分 ∫₋₁¹ T₁(x)²/√(1−x²)dx=____。

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11. 已知数据点 (0,1)、(1,2)、(2,4)，用一次多项式 y=a+bx 作最小二乘拟合，则拟合系数 b 的值为 ____

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12. 已知观测数据 (1,1)，(2,2)，(3,4)，用最小二乘法求拟合直线 y=a+bx，则系数 b=____

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13. 关于切比雪夫多项式的基本概念，下列叙述正确的是（　　） A. 切比雪夫多项式 Tₙ(x) 是区间 [−1,1] 上权函数 ρ(x)=1/√(1−x²) 的正交多项式，且 |Tₙ(x)|≤1 B. 切比雪夫多项式 Tₙ(x) 在 [−1,1] 上的最大值为 n C. 切比雪夫多项式 Tₙ(x) 的首项系数为 1 D. 切比雪夫多项式 Tₙ(x) 在 [0,1] 上关于权函数 ρ(x)=1 正交

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14. 在区间 [−1,1] 上，勒让德多项式 P₂(x)=(3x²−1)/2 满足正交性质：对任意非负整数 m≠n，∫₋₁¹ Pₘ(x)Pₙ(x)dx=0。已知 ∫₋₁¹ x⁴dx=2/5，∫₋₁¹ x²dx=2/3，则积分 ∫₋₁¹ x²·P₂(x)dx 的值为 A. 2/5　B. 4/15　C. 2/3　D. 2/15

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15. 关于区间 [−1,1] 上切比雪夫多项式的性质，下列叙述正确的是（　　） A. 在所有首项系数为 1 的 n 次多项式中，Tₙ(x)/2^(n−1) 是使最大绝对值最小的多项式 B. Tₙ(x) 在 [−1,1] 上的最大值为 2^(n−1) C. Tₙ(x) 是 [−1,1] 上以权函数 1/x² 正交的多项式 D. Tₙ(x) 在 [−1,1] 内部有 n+1 个互异零点

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16. 在区间 [0,1] 上，多项式族 φ₀(x)=1, φ₁(x)=x−1/2, φ₂(x)=x²−x+1/6 关于权函数 ρ(x)=1 构成正交多项式系，即对 m≠n 有 ∫₀¹ φₘ(x)φₙ(x)dx=0。由此计算 φ₁ 与 φ₂ 的内积 ∫₀¹ φ₁(x)φ₂(x)dx = ____。

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17. 设 Tₙ(x) 为区间 [−1,1] 上的切比雪夫多项式（首项系数 2^(n−1)，n≥1，其零点为 cos((2k−1)π/(2n))，k=1,…,n）。则 T₄(x) 在区间 (−1,1) 内的相异零点个数与其首项系数之积为 ____。

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18. 在线性空间 C[0,1] 上定义范数 ‖f‖ = (∫₀¹ f²(x)dx)^(1/2)。设 M 为全体常函数构成的一维子空间，f(x)=x²。则 f 到 M 的最佳平方逼近元为 p(x)=1/3，从而 ‖f−p‖ = ____。

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