大学数值分析（大学通用）上册《常微分方程数值解法》练习题

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本单元考点（5 个）

欧拉法与改进欧拉法龙格-库塔方法线性多步法基本概念阿当姆斯显式与隐式公式数值方法的收敛性与稳定性

本单元练习题（18 题）

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1. 用后退（隐式）Euler法求解试验方程 y′=λy（λ=-10，y(0)=1），其增长因子为 1/(1-hλ)。仅从绝对稳定性角度考虑（要求误差逐步不放大，即 |1/(1-hλ)|≤1），则对步长 h 的要求是　A. 0<h≤0.2　B. 0<h≤0.1　C. h>0 任意取值均满足　D. 仅当 h≥0.1 时满足

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2. 用四阶阿当姆斯隐式公式 y_{n+1}=y_n+(h/24)(9f_{n+1}+19f_n−5f_{n−1}+f_{n−2}) 求解初值问题 y′=x, y(0)=0。取步长 h=1，已知 y(1)=1/2, y(2)=2, y(3)=9/2（即真解 y=x²/2 在 x=1,2,3 处的值），则由此公式算得的 y(4)=____

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3. 用二步阿当姆斯显式公式 y_{n+1}=y_n+(h/2)(3f_n−f_{n−1}) 求解初值问题 y′=2x，y(0)=0，取步长 h=0.1。已知 y_0=0，y_1=0.01，则用该公式求得的 y_2=____

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4. 用欧拉法求解初值问题 y′=−2y，y(0)=1，取步长 h=0.25，则 y₁ 的近似值为____；若改用改进欧拉法（梯形公式预估-校正一次），同一 y₁ 的近似值为____。

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5. 用欧拉法求解初值问题 y′=−y，y(0)=1，取步长 h=0.1，则 y₁ 的近似值为（　） A. 0.9　B. 0.99　C. 0.95　D. 0.81

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6. 用显式Euler法求解试验方程 y′=λy（λ=-10，y(0)=1）。仅从绝对稳定性角度考虑，要求该方法逐步计算不放大误差（即满足绝对稳定条件），则步长 h 的取值范围是 A. 0＜h＜0.1　B. 0＜h＜0.2　C. 0＜h＜0.5　D. 0＜h＜1

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7. 设常微分方程初值问题 y'=f(x,y), y(x₀)=y₀。某线性多步法的计算公式为 y_{n+3}=y_n+3h·f(x_{n+1}, y_{n+1})，其中 h 为步长。该公式由 y_n、y_{n+1}、y_{n+2} 的值计算 y_{n+3}，则这是一个 k 步法，k=____

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8. 用经典四阶龙格-库塔方法（h=0.1）求解初值问题 y'=x, y(0)=0，取一步得 y(0.1) 的近似值为（　） A. 0.01　B. 0.005　C. 0.0025　D. 0.002

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9. 下列关于线性多步法基本概念的说法中，正确的是：A. 线性多步法计算 y_{n+k} 时只需用到 y_n 与 f(x_n,y_n) 两个信息　B. 线性多步法是关于 y_{n+k}、y_{n+k-1}、…、y_n 及各点处 f 值的线性组合公式　C. 线性多步法中 f 必须是线性函数　D. 隐式多步法右端不含 f(x_{n+k}, y_{n+k}) 项

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10. 已知四阶阿当姆斯隐式（Adams-Moulton）公式为 y_{n+1}=y_n+(h/24)(9f_{n+1}+19f_n−5f_{n−1}+f_{n−2})，它与四阶阿当姆斯显式（Adams-Bashforth）公式同为四阶精度。下列说法正确的是： A. 隐式公式每步只需计算一次新的右端函数值 f(x_{n+1},y_{n+1})，显式公式则需四次 B. 隐式公式须用迭代法求解 y_{n+1}，通常以同阶显式公式提供初始值（预报-校正） C. 隐式公式局部截断误差阶为 O(h⁵)，显式公式为 O(h³) D. 隐式公式是自起步方法，可直接从 y₀ 开始逐步计算

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11. 设常微分方程初值问题 y'=f(x,y), y(x₀)=y₀。若一个线性多步法的计算公式形如 ∑(i=0 到 k) αᵢ·y_{n+i} = h·∑(i=0 到 k) βᵢ·f(x_{n+i}, y_{n+i})，其中 αₖ ≠ 0，且 α₀ 与 β₀ 不同时为零，则称该公式为 ____ 步线性多步法（填写步数符号）。

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12. 用经典四阶龙格-库塔方法（h=0.5）求初值问题 y'=y, y(0)=1 的一步近似解 y(0.5)。若 k₁=1，则依次算得 k₂=1.25，k₃=1.3125，k₄=1.65625，按公式 y₁=y₀+h(k₁+2k₂+2k₃+k₄)/6，所得近似值为（　） A. 211/128　B. 5/3　C. 13/8　D. 3/2

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13. 用四阶阿当姆斯显式公式 y_{n+1}=y_n+h(55f_n−59f_{n−1}+37f_{n−2}−9f_{n−3})/24 求解初值问题 y′=x，y(0)=0。取步长 h=1，已知前四点精确值 y₀=0, y₁=0.5, y₂=2, y₃=4.5，则由该公式算得的 y₄（即 y(4) 的近似值）为 ____

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14. 设常微分方程初值问题 y'=f(x,y), y(x₀)=y₀，考虑线性两步法 y_{n+2}-y_n = h·(a·f_{n+1}+b·f_n)，其中 f_i=f(x_i,y_i)。若要求该方法的局部截断误差阶为 O(h³)（即方法为二阶方法），则 a=____

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15. 用经典四阶龙格-库塔方法求解初值问题 y'=2y，y(0)=1，取步长 h=0.25 计算一步。已知 k₁=f(x₀,y₀)=2，则 k₂=f(x₀+h/2, y₀+h·k₁/2) 的值为（　） A. 2.5　B. 2.25　C. 3　D. 2.75

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16. 用经典四阶龙格-库塔方法取步长 h=0.1 求解初值问题 y'=2x+1, y(0)=1 的一步，则 y(0.1) 的近似值为（　） A. 1.10　B. 1.105　C. 1.11　D. 1.12

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17. 用欧拉法求解初值问题 y′=x+y，y(0)=1，取步长 h=0.2，则 y₁ 的近似值为____；若改用改进欧拉法（梯形预估-校正一次），同一 y₁ 的近似值为____。

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18. 设常微分方程初值问题 y'=f(x,y), y(x₀)=y₀，考虑线性两步法 y_{n+1}=y_n+h·(a·f_n+b·f_{n-1})，其中 f_i=f(x_i,y_i)。若要求该方法的局部截断误差达到 O(h³)（即方法至少二阶），则系数 b=____，此时系数 a 与 b 的乘积 a·b=___。

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