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大学数值分析（大学通用）上册《解线性方程组的迭代法》练习题

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本单元考点（5 个）

迭代法基本思想与收敛性雅可比迭代法高斯-赛德尔迭代法超松弛迭代法(SOR)迭代矩阵谱半径与收敛条件

本单元练习题（9 题）

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1. 设方程组 { 10x₁ + x₂ = 11； 2x₁ + 10x₂ = 12 }，用高斯-赛德尔迭代法求解，取初始向量 x⁽⁰⁾ = (0, 0)ᵀ，迭代公式为 x₁^(k+1) = (11 − x₂^(k))/10，x₂^(k+1) = (12 − 2x₁^(k+1))/10，则 x₁⁽²⁾ =（　　） A. 1.1 B. 1.002 C. 0.9996 D. 1.02

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2. 设线性方程组 { x₁ + 3x₂ = 5； 2x₁ + x₂ = 3 }，用高斯-赛德尔迭代法求解，取初始向量 x⁽⁰⁾ = (0, 0)ᵀ，则按分量顺序 x₁, x₂ 计算得到的第一步迭代向量 x⁽¹⁾ 为（　　） A. (5, -7)ᵀ B. (5/2, -1/2)ᵀ C. (-7, 5)ᵀ D. (3, -1/2)ᵀ

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3. 用SOR方法解线性方程组时，松弛因子ω的取值范围是（　　）。若取ω=1，则SOR方法退化为下列哪种迭代法？选项：A. Jacobi迭代法　B. Gauss-Seidel迭代法　C. 最速下降法　D. 平方根法 A. ω>0且ω≠1；Jacobi迭代法　B. 0<ω<2；Gauss-Seidel迭代法　C. 0<ω≤1；最速下降法　D. ω≥2；平方根法

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4. 用SOR方法解线性方程组 x+y=3，x+2y=5，取松弛因子ω=1.5，初始向量 x⁽⁰⁾=(0,0)ᵀ，按分量顺序先算 x 再算 y，则第一次迭代 x⁽¹⁾=(x₁,y₁)ᵀ 为（　　）。 A. (4.5, 1.5)ᵀ B. (3, 1)ᵀ C. (-1.5, 0.5)ᵀ D. (4.5, -0.5)ᵀ

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5. 用超松弛迭代法（SOR）解方程组 10x₁+x₂=11，x₁+10x₂=13，取松弛因子 ω=1.2，初始向量 x⁽⁰⁾=(0,0)ᵀ，则第一次迭代后 x₂⁽¹⁾ 的值为（　　）。 A. 1.19　B. 1.32　C. 1.428　D. 1.19/1.2

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6. 设线性方程组 Ax=b 的 Jacobi 迭代矩阵为 B，其谱半径 ρ(B)=0.8，则用 Jacobi 迭代法求解该方程组必收敛的依据是（　） A. 迭代矩阵谱半径小于1，故迭代法收敛 B. 迭代矩阵谱半径大于0，故迭代法收敛 C. 系数矩阵 A 对称，故迭代法收敛 D. 迭代矩阵谱半径小于1时迭代法不一定收敛，需进一步验证

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7. 设线性方程组 Ax=b 的 Jacobi 迭代矩阵为 B = [[1/2, 3],[0, -1/4]]，则该迭代法的谱半径 ρ(B) 及收敛性判断为：A. ρ(B)=1/2，迭代法收敛　B. ρ(B)=1/4，迭代法收敛　C. ρ(B)=3，迭代法发散　D. ρ(B)=5/4，迭代法发散

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8. 用迭代法解线性方程组 Ax=b 时，将 A 分裂为 A=M-N，得到迭代格式 x^(k+1)=M^(-1)N x^(k)+M^(-1)b。则该迭代法收敛的充分必要条件是（　） A. 迭代矩阵 B=M^(-1)N 的谱半径 ρ(B)<1 B. 系数矩阵 A 对称正定 C. 迭代矩阵 B 的所有元素绝对值之和小于 1 D. 谱半径 ρ(B)>1

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9. 设线性方程组 { x₁ + x₂ = 2； 2x₁ + x₂ = 3 }，用高斯-赛德尔迭代法求解，取初始向量 x⁽⁰⁾ = (0, 0)ᵀ，迭代公式为 x₁^(k+1) = 2 − x₂^(k)，x₂^(k+1) = 3 − 2x₁^(k+1)（每个分量一旦算出即在后续分量中立即使用）。则 x⁽²⁾ = ？ A. (2, −1)ᵀ　B. (3, −3)ᵀ　C. (1, 1)ᵀ　D. (3, 3)ᵀ

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