大学数值分析（大学通用）上册《误差与数值计算基础》练习题

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本单元考点（5 个）

绝对误差与相对误差有效数字及其与误差关系截断误差与舍入误差数值稳定性概念避免误差危害的运算原则

本单元练习题（18 题）

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1. 在计算 y = √(10001) − √(10000)（保留 4 位有效数字的浮点运算环境）时，为避免两个相近数相减造成有效数字严重损失，下列数值计算方案中正确且误差危害最小的是哪一项？ A. 直接计算 √(10001) − √(10000) B. 用等价变形 1/(√(10001) + √(10000)) 计算 C. 先分别算 √(10001) 与 √(10000) 的近似值再相减 D. 用 (10001 − 10000)/(√(10001) − √(10000)) 的倒数计算

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2. 取 e≈2.718281… 的近似值 x* = 2.72，则 x* 有几位有效数字？ A. 1位　B. 2位　C. 3位　D. 4位

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3. 已知精确值 x = 2，取其近似值 x* = 1.998。按有效数字的定义，x* 具有____位有效数字。

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4. 用泰勒公式取近似式 √x ≈ 2 + (x−4)/4（在 x=4 处展开、保留到一次项）计算 √4.1，即取 x=4.1。记截断误差为 R₁ = √x − [2+(x−4)/4]，由拉格朗日余项 R₁ = −(x−4)²/(8ξ^(3/2))（ξ 介于 4 与 x 之间）可得其上界 |R₁| ≤ ____。

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5. 下列关于数值稳定性的说法中，正确的是： A. 若一个算法的计算结果误差在传播过程中不增长或增长受控，则称该算法数值稳定 B. 只要计算结果的绝对误差很小，该算法就一定是数值稳定的 C. 一个问题的病态性可以通过选择数值稳定的算法来消除 D. 数值稳定性只与初始数据的误差有关，与算法的具体计算过程无关

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6. 下列关于误差的叙述中，正确的是（　）。A. 截断误差是用近似方法代替精确运算时产生的误差　B. 舍入误差是用近似公式代替原函数时产生的误差　C. 截断误差是计算机字长有限导致的误差　D. 舍入误差与计算方法的选择无关

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7. 取 π≈3.14159 的近似值 x*=3.142，则 x* 的绝对误差 e(x*)=x*−π≈____（结果保留两位有效数字）。

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8. 在浮点运算中为减少舍入误差危害，将 1/(1−0.999) 改写为等价形式后再计算，则最佳改写方案是 1/(1−0.999) = ____。

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9. 设数 x 的近似值为 x* = 2.5，已知其相对误差限为 4%，则 x* 的绝对误差限为（　　） A. 0.01　B. 0.1　C. 0.4　D. 10

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10. 在具有5位有效数字的十进制浮点运算环境中，求和 S=10000+1+1+…+1（共10000个1）。若按书写顺序从左到右计算，10000与1相加时个位的1低于有效数字范围而被舍去，每次加1的结果仍为10000，最终结果保持10000。为遵循“避免大数吃小数”的运算原则，应先将10000个1逐个相加得到10000，再与10000相加。按此正确方案计算，S 的结果为____。

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11. 用泰勒公式取前四项 e^x ≈ 1+x+x²/2+x³/6 计算 e^0.2，其余项为 R₃ = e^ξ·x⁴/24（0<ξ<0.2）。已知 e^0.2 ≈ 1.221，则该近似公式的截断误差 |R₃| 不超过（　）。 A. 8.2×10⁻⁵　B. 8.2×10⁻⁴　C. 8.2×10⁻⁶　D. 1.6×10⁻⁴

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12. 用泰勒公式取近似式 ln(1+x) ≈ x − x²/2（在 x=0 处展开、保留到二次项）计算 ln(1.5)，即取 x=0.5。记截断误差为 R₃，则由泰勒余项估计，|R₃| = x³/(3(1+ξ)³)（0<ξ<x）。又知最终结果按四舍五入保留到小数点后 4 位，产生的舍入误差不超过 0.5×10⁻⁴。则本例中截断误差不超过 ____ （用分数表示）。

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13. 用泰勒公式取近似式 cos(x) ≈ 1 − x²/2（在 x=0 处展开、保留到二次项）计算 cos(0.1)，其截断误差的主要来源是（　）。A. 计算机对 1 − x²/2 作四舍五入产生的舍入误差　B. 舍去泰勒展开式中四次项及更高次项产生的截断误差　C. 取 x=0.1 时由输入数据不精确造成的过失误差　D. 初值选取不当引起的传播误差

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14. 下列关于避免误差危害的数值运算原则的叙述中，正确的是（　） A. 两个相近的数直接相减可提高计算精度，应优先采用 B. 用绝对值很小的数作除数会放大误差，应避免以很小的数作除数 C. 多个数量级相差悬殊的数相加时，应先加大数再加小数以减小舍入误差 D. 计算步骤越多误差一定越小，故应尽量增加运算次数

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15. 设数 x 的近似值为 x* = 0.25，其绝对误差限为 0.005，则 x* 的相对误差限为（　　） A. 0.2%　B. 2%　C. 5%　D. 0.5%

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16. 已知取 x* = 0.020516 作为 x 的近似值，其绝对误差限为 0.5×10⁻⁴。按有效数字的定义，x* 具有____位有效数字。

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17. 取 √2≈1.414213… 的近似值 x* = 1.414，则绝对误差 e(x*) = x* − √2 ≈ ____（保留一位有效数字），由此可知 x* 具有____位有效数字。

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18. 用近似公式 sin(x) ≈ x（函数 sin(x) 在 x=0 处一阶泰勒展开，保留到一次项）计算 sin(0.1)，即取 x=0.1。其拉格朗日余项为 R₁ = −cos(ξ)·x²/2（ξ 介于 0 与 0.1 之间），故截断误差的绝对值不超过 x²/2。另一方面，计算机表示 x=0.1 时产生的舍入误差绝对值不超过 1×10⁻⁴。则截断误差的上界与舍入误差的上界之比为____

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