大学数值分析（大学通用）上册《数值积分与数值微分》练习题

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本单元考点（5 个）

数值积分的基本思想牛顿-科茨公式复化梯形公式与复化辛普森公式龙贝格积分算法高斯求积公式与数值微分

本单元练习题（9 题）

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1. 下列关于 n+1 个节点的 n 阶牛顿-科茨（Newton-Cotes）求积公式的说法中，正确的是（　） A. 当 n 为偶数时，代数精度至少为 n+1 B. 任何 n 阶牛顿-科茨公式的代数精度都恰为 n C. n 阶牛顿-科茨公式的求积系数之和不一定等于积分区间长度 D. 当 n 为奇数时，代数精度至少为 n+1

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2. 用复化梯形公式与复化辛普森公式计算定积分 ∫₀² x² dx（将区间 [0,2] 四等分，即 n=4，h=0.5），记两公式的计算结果分别为 T 与 S。则 T 与 S 分别为（　） A. T=11/4，S=8/3 B. T=8/3，S=8/3 C. T=11/4，S=11/4 D. T=3，S=3

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3. 牛顿-科茨求积公式 ∫ₐᵇ f(x)dx ≈ (b−a)∑λᵢf(xᵢ) 的代数精度随阶数 n 变化。当 n=1（梯形公式）、n=2（辛普森公式）、n=4（柯茨公式）时，各公式的代数精度依次为（　） A. 1, 3, 5 B. 1, 3, 4 C. 2, 3, 5 D. 1, 2, 5

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4. 用两点 Gauss-Legendre 求积公式（节点 x₁=−1/√3, x₂=1/√3，系数均为1）计算积分 ∫₋₁¹ x² dx，其近似值为（　） A. 2/3　B. 1/2　C. 1/3　D. 4/3

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5. 关于数值积分的基本思想，下列说法正确的是：A. 数值积分通过在被积函数的若干节点处取值作线性组合来近似定积分，其思想是用简单函数（如多项式）代替被积函数进行积分　B. 数值积分要求先求出被积函数的原函数才能计算定积分　C. 数值积分的近似值总是小于定积分的精确值　D. 数值积分中的求积节点可以任意选取，节点的选取不影响求积公式的代数精度

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6. 用 n=2 的牛顿-科茨公式（辛普森公式）计算定积分 ∫₀¹ x⁴ dx 的近似值，所得结果为（　） A. 5/24　B. 1/5　C. 1/4　D. 1/12

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7. 数值积分的基本思想是：当定积分 ∫ₐᵇ f(x)dx 的原函数不易求出时，构造便于积分的简单函数 p(x)（如插值多项式）代替 f(x)，从而用 ∫ₐᵇ p(x)dx 的值作为原定积分的近似值。下列说法最能体现这一思想的是：A. 数值积分通过在被积函数的若干节点处取值作线性组合来近似定积分 B. 数值积分必须先求出 f(x) 的精确原函数 C. 数值积分的近似值一定大于精确值 D. 数值积分要求 f(x) 在 [a,b] 上处处可导

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8. 用龙贝格积分法计算定积分时，将复化梯形值 T₄=0.7 与 T₈ 经外推公式 S₈=(4T₈−T₄)/3 求得加速值 S₈=0.8，则 T₈ 的值为（　） A. 0.775　B. 0.725　C. 0.8　D. 0.75

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9. 关于数值积分的基本思想，下列说法正确的是：A. 数值积分必须先求出被积函数的原函数，再代入积分限计算定积分　B. 数值积分的思想是用插值多项式等简单可积函数代替被积函数，将 ∫ₐᵇ f(x)dx 近似表示为若干节点处函数值的加权和（线性组合）　C. 数值求积公式中节点越多、函数值之和越大，近似精度一定越高，与加权系数无关　D. 数值积分只适用于被积函数连续但不存在原函数的情形，对原函数存在的积分不适用

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