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大学数值分析（大学通用）上册《矩阵特征值与特征向量计算》练习题

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本单元考点（5 个）

幂法及加速技术反幂法基本思想雅可比旋转法QR算法基本步骤Householder变换与约化

本单元练习题（9 题）

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1. 已知矩阵 A = [[4,1],[2,3]]，其特征值为 λ₁=5, λ₂=2（|λ₁|>|λ₂|）。用幂法迭代，取初始向量 v₀=(1,0)ᵀ，作一次迭代得 v₁=Av₀。若用 Rayleigh 商 μ₁=(v₁ᵀAv₁)/(v₁ᵀv₁) 作为主导特征值的近似值，则 μ₁ 的值为： A. 5　B. 2　C. 7/2　D. 10

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2. 用QR算法求实对称矩阵A的特征值时，每步先作QR分解 Aₖ=QₖRₖ（Qₖ为正交矩阵，Rₖ为上三角矩阵），再令 Aₖ₊₁=RₖQₖ。下列关于该基本步骤的结论正确的是： A. Aₖ₊₁与Aₖ具有相同的特征值 B. Aₖ₊₁与Aₖ具有相同的特征向量 C. 一次迭代后 Aₖ₊₁ 必为对角矩阵 D. 上三角因子 Rₖ 必为正交矩阵

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3. 设矩阵 A 的某特征值 λ 满足 |λ₁|>|λ₂|≥…，用幂法迭代取初始向量 v₀ 时，迭代向量序列 vₖ = Aᵏv₀ 的方向将趋于什么？下列说法正确的是： A. 趋于 λ₁ 对应的特征向量方向，且特征值可由相邻迭代分量的比值估计 B. 趋于绝对值最小的特征值对应的特征向量方向 C. 趋于零向量，无法得到任何特征信息 D. 始终保持 v₀ 的初始方向不变

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4. 用QR算法求实对称矩阵A的特征值时，每步先作QR分解 Aₖ=QₖRₖ（Qₖ为正交矩阵，Rₖ为上三角矩阵），再令 Aₖ₊₁=RₖQₖ。下列关于该基本步骤的结论正确的是 A. Aₖ₊₁ 与 Aₖ 不相似，故迭代过程中特征值会改变 B. 因 Aₖ₊₁=RₖQₖ=Qₖ⁻¹AₖQₖ，各 Aₖ 彼此相似，特征值保持不变 C. QR分解中要求 Qₖ 可逆即可，不必是正交矩阵 D. 迭代中必有 QₖRₖ=RₖQₖ，故数列 Aₖ 不变

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5. 设向量 x=(1,2,2)^T，构造 Householder 矩阵 H=I−2vv^T/(v^T v) 使 Hx=(‖x‖₂,0,0)^T，则向量 v 可取为（　） A. (1−3, 2, 2)^T　B. (3, 2, 2)^T　C. (1, −2, −2)^T　D. (3, −2, −2)^T

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6. 设 x=(3,4,0)^T，取 v=x+‖x‖e₁（e₁=(1,0,0)^T），构造 Householder 变换 H=I−2vv^T/(v^Tv)。则 Hx 等于（　） A. (−5,0,0)^T　B. (5,0,0)^T　C. (0,−5,0)^T　D. (3,−4,0)^T

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7. 设矩阵 A 的主特征值 λ₁>0 且对应特征向量 x₁，特征值满足 |λ₁|>|λ₂|≥|λ₃|≥…。用幂法迭代得 vₖ=Aᵏv₀（v₀ 在 x₁ 方向分量非零）。为加速收敛，对 vₖ 作 Rayleigh 商加速，即用 R(vₖ)=(vₖ)ᵀAvₖ / ((vₖ)ᵀvₖ) 估计 λ₁。下列说法正确的是：A. 当 A 为实对称矩阵时，R(vₖ) 收敛到 λ₁ 的速度可达平方阶，误差按 |λ₁/λ₂|² 衰减　B. Rayleigh 商 R(vₖ) 对任意矩阵都恒等于 λ₁　C. Rayleigh 商加速仅对特征值全为负数的矩阵有效　D. 对任意矩阵，R(vₖ) 的误差均按 |λ₁/λ₂|² 衰减

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8. 设向量 x=(2,2,1)^T，取 v=x+‖x‖₂e₁（e₁=(1,0,0)^T），构造 Householder 矩阵 H=I−2vv^T/(v^Tv)，则 Hx=（　） A. (−3,0,0)^T　B. (3,0,0)^T　C. (0,−3,0)^T　D. (2,2,1)^T

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9. 设向量 x=(2,3,6)^T，取 v=x+‖x‖₂e₁（e₁=(1,0,0)^T），构造 Householder 矩阵 H=I−2vv^T/(v^Tv)，使 Hx=(−‖x‖₂,0,0)^T。则系数 2/(v^Tv) 与 ‖x‖₂ 的值分别为　A. 1/63 与 7　B. 1/126 与 7　C. 1/63 与 9　D. 2/63 与 5

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