大学数值分析（大学通用）上册《解线性方程组的直接法》练习题

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本单元考点（5 个）

高斯消去法原理与实现列主元高斯消去法矩阵的LU分解平方根法与追赶法方程组条件数与误差分析

本单元练习题（9 题）

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1. 追赶法适用于求解下列哪类线性方程组 Ax=b？ A. 系数矩阵为三对角矩阵的方程组 B. 系数矩阵为一般稠密矩阵的方程组 C. 系数矩阵为随机矩阵的方程组 D. 系数矩阵为任意对称矩阵的方程组

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2. 设 A 可逆，方程组 Ax=b，系数矩阵 A 的条件数 Cond(A)=‖A‖·‖A⁻¹‖=100。若右端项 b 有相对误差 0.1%，则用直接法求得的近似解 x* 的相对误差（按相应范数）最大约为多少？ A. 0.1% B. 1% C. 10% D. 0.001%

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3. 用平方根法（Cholesky 分解）将对称正定矩阵 A=[[9,3],[3,10]] 分解为 A=LL^T，其中 L 为下三角矩阵，则 L 的元素 l₂₂ 等于多少？ A. 3　B. √10　C. 2　D. 4

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4. 用列主元高斯消去法求解线性方程组 Ax=b，其中系数矩阵 A = [[2, 1, -1], [-3, -1, 4], [-1, 2, 2]]。完成第一次选列主元、交换行后进行第一步消元，所用的两个乘数 m₂₁ 与 m₃₁ 分别为（　　） A. -2/3 和 1/3 B. 2/3 和 1/3 C. -2/3 和 -1/3 D. -3/2 和 -3

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5. 设矩阵 A = [[1, 2],[3, 4]]，用 Doolittle 分解（单位下三角矩阵 L 乘上三角矩阵 U）将 A 分解为 A = LU，则 L 与 U 分别为（　） A. L = [[1, 0],[3, 1]]，U = [[1, 2],[0, -2]] B. L = [[1, 0],[1/3, 1]]，U = [[3, 4],[0, 2/3]] C. L = [[1, 0],[3, 1]]，U = [[1, 2],[0, 4]] D. L = [[1, 2],[0, 1]]，U = [[1, 0],[0, 4]]

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6. 用 Doolittle 分解（单位下三角阵 L 与上三角阵 U 之积）将矩阵 A 分解，其中 A 的三行为 (2,1,1)、(4,3,3)、(8,7,9)，则元素 l₃₂（即 L 的第 3 行第 2 列元素）的值为（　） A. 3　B. 1　C. 2　D. 4

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7. 设方程组 Ax=b 的系数矩阵 A = diag(2, 1/2)（二阶对角阵），取谱范数（2-范数）定义条件数 Cond(A)=‖A‖₂·‖A⁻¹‖₂。若右端项 b 的相对误差不超过 0.5%，则由误差估计式 ‖δx‖/‖x‖ ≤ Cond(A)·‖δb‖/‖b‖ 可得解的相对误差上界为　A. 2%　B. 1%　C. 0.5%　D. 4%

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8. 用平方根法（Cholesky 分解）将对称正定矩阵 A=[[4,-2],[-2,5]] 分解为 A=LL^T，其中 L 为下三角矩阵且对角元取正，则 l₂₂ 等于 A. 2　B. 3　C. √3　D. √5

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9. 用列主元 Gauss 消去法求解线性方程组 Ax=b，其中系数矩阵 A=[[2,1,1],[1,3,2],[1,1,4]]，右端向量 b=(4,5,6)^T。已知第一步消元的列主元为 2，乘数 m21=m31=1/2，消元后第2、3行变为 (0, 5/2, 3/2) 与 (0, 1/2, 7/2)。则第二步消元所选的列主元应为多少？ A. 1/2 B. 5/2 C. 7/2 D. 3/2

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