大学数值分析（大学通用）上册《插值法》练习题

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本单元考点（5 个）

拉格朗日插值多项式差商与牛顿插值公式插值余项及其应用埃尔米特插值分段低次插值与三次样条插值

本单元练习题（9 题）

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1. 已知 f(x)=1/x，用节点 x₀=2, x₁=4 作线性插值多项式 L₁(x) 近似 f(x)，由插值余项公式 f(x)-L₁(x)=f''(ξ)/2!·(x-2)(x-4)（ξ 介于 2 与 4 之间），则用 L₁(3) 近似 f(3)=1/3 的误差绝对值不超过（　　） A. 1/8　B. 1/4　C. 1/16　D. 1/12

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2. 设节点 x₀=0，x₁=2，x₂=4，二次拉格朗日插值的基函数 l₁(x)=∏(j≠1)(x−xⱼ)/(x₁−xⱼ)。则 l₁(3) 的值为（　） A. 3/4　B. −3/4　C. 1/2　D. −1/2

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3. 设 f(x)=2x³−x+1，取节点 x₀=0, x₁=1, x₂=2, x₃=3，则三阶差商 f[x₀,x₁,x₂,x₃] 的值为（　） A. 6　B. 2　C. 12　D. 1

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4. 已知函数 f(x) 的数据：f(0)=1，f(1)=3，f(2)=7。则差商 f[0,1,2] 的值为（　） A. 1 B. 2 C. 3/2 D. 4/3

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5. 已知函数 f(x)=x³ 在节点 x₀=0, x₁=1, x₂=2 处的函数值分别为 0, 1, 8。用这三点构造牛顿二次插值多项式 N₂(x)=f(x₀)+f[x₀,x₁](x−x₀)+f[x₀,x₁,x₂](x−x₀)(x−x₁)，则 N₂(x) 中二次项的系数为（　） A. 3　B. 6　C. 7　D. 1/2

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6. 关于分段低次插值与三次样条插值，下列说法正确的是（　） A. 分段线性插值在节点处一般不光滑，但其函数值连续 B. 三次样条插值在整个区间上二阶导数不一定连续 C. 分段低次插值的次数越高，逼近效果一定越好 D. 三次样条插值不要求满足插值条件 f(xᵢ)=yᵢ

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7. 已知 f(x)=√x，取节点 x₀=1, x₁=4 作线性插值多项式 L₁(x) 近似 f(x)，x∈[1,4]。由插值余项公式 f(x)-L₁(x)=f''(ξ)/2!·(x-1)(x-4)（ξ 介于 1、4 与 x 之间），估计该误差绝对值在整个区间 [1,4] 上的上界 |f(x)-L₁(x)|≤M 为多少？ A. 9/32　B. 9/64　C. 1/8　D. 27/64

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8. 已知 f(x)=sin x，取节点 x₀=0，x₁=1/2 作线性插值多项式 L₁(x)。设 x∈[0,1/2]，由插值余项公式 f(x)−L₁(x)=f″(ξ)/2!·(x−x₀)(x−x₁)，ξ 介于插值节点之间，则误差 |f(x)−L₁(x)| 的上界为 A. 1/16 B. 1/32 C. 1/64 D. 1/8

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9. 已知 f(x)=e^x，取节点 x₀=0，x₁=1 作线性插值多项式 L₁(x) 近似 f(x)。由插值余项公式 f(x)−L₁(x)=f″(ξ)/2!·(x−0)(x−1)，ξ 介于 0 与 x 之间。则当 x∈[0,1] 时，误差 |f(x)−L₁(x)| 的上界（即余项绝对值的最大可能值）为（　） A. e/8　B. e/4　C. e/2　D. 1/8

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