人教版（B版）（主编：高存明）·数学高三上册《第三章圆锥曲线的方程》练习题

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本单元考点（6 个）

椭圆的标准方程与几何性质双曲线的标准方程与几何性质抛物线的标准方程与几何性质直线与圆锥曲线的位置关系圆锥曲线中的弦长与中点弦问题圆锥曲线的综合应用

本单元练习题（27 题）

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1. 某双曲线的中心为坐标原点，焦点在 x 轴上，且两焦点间的距离为 10；其两条渐近线的斜率分别为 4/3 和 −4/3。该双曲线的标准方程是（　　） A. x²/9−y²/16=1　B. x²/16−y²/9=1　C. y²/9−x²/16=1　D. x²/9−y²/16=−1

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2. 某气象卫星绕地球运行的轨道是以地心为一个焦点的椭圆（焦点在长轴上）。已知该轨道的长轴长为 2×10⁴ km，两焦点间的距离为 1.2×10⁴ km。以轨道中心为原点、长轴所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，求该卫星轨道的椭圆标准方程，并写出其半短轴长（单位：km）是多少？

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3. 已知双曲线 x²/a²−y²/b²=1（a>0，b>0）的一条渐近线的倾斜角为120°，且焦点到该渐近线的距离为3，则此双曲线的离心率为____，实轴长为____。

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4. 某监测区的边界在平面直角坐标系中表示为椭圆 x²/8+y²/8=1，某巡检路线是一条直线 y=x+t，其中 t≥0，坐标单位均为千米。若巡检路线与监测区边界至少有一个公共点，t 的最大值是多少千米？

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5. 已知椭圆 C：x²/4+y²/3=1，斜率存在且倾斜角为锐角的直线 l 过点 (0,2)，与椭圆 C 恰有一个公共点，则 l 的斜率为（　） A. −1/2　B. 1/2　C. √3/2　D. 1

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6. 某景观拱门的轮廓在平面直角坐标系中可近似看作椭圆 x²/4 + y² = 1（单位：米），其中 x 轴沿地面方向，y 轴过拱顶。施工时需沿一条斜线安装一根装饰灯带，灯带恰好是该椭圆的一条弦，且该弦的中点恰好位于点 M(1, 1/2) 处（单位：米）。设该弦所在直线的斜率为 k，先利用中点弦的点差法确定 k 的值，再求这条灯带的长度为多少米？

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7. 某展馆的椭圆形通风窗在平面直角坐标系中的边界为 x²/25＋y²/9＝1，坐标单位为米。施工人员要在窗框上选取一条弦，使弦的中点为 M(4,0)。这条弦的长度是多少米？

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8. 某探照灯的反射面纵截面是开口向右的抛物线的一部分，以抛物线顶点为坐标原点、对称轴为 x 轴建立平面直角坐标系，其方程为 y²=16x。根据光学性质，光源应放在该抛物线的焦点处，反射光才能平行于对称轴射出。请写出该抛物线的焦点坐标，并求焦点到其准线的距离（单位：按坐标系中的长度单位计）？

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9. 直线 y=x+1 与椭圆 x²/4+y²=1 的位置关系是（　） A. 相离　B. 相切　C. 相交于两点　D. 相交于一点

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10. 已知双曲线的焦点在 x 轴上，实轴长为 6，离心率为 5/3，则该双曲线的焦距为____，其渐近线方程为____。

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11. 抛物线 C：y²=4x。直线 l：y=kx+1 与 C 相切，则实数 k 的值为（　） A. −1　B. 0　C. 1　D. 2

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12. 某椭圆形观测区以中心为原点建立平面直角坐标系，东西方向为x轴，南北方向为y轴。观测区边界的两个焦点位于x轴上，且相距6 km；边界在y轴上的截距为±4 km。求该观测区边界所在椭圆的标准方程及其长轴长？

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13. 已知椭圆 x²/9+y²/4=1，第一象限内一点 P 处的切线斜率为 −2/3，且该切线与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，则三角形 OAB 的面积为____。

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14. 某双曲线形冷却塔的纵断面边界可视为双曲线 x²/a²−y²/b²=1（y 轴为塔的竖直中心轴）的一部分。经测量，塔身最细处（腰部）位于 y=0 处，该处圆面半径为 30 米；在高度 96 米处，塔身圆面半径为 78 米。据此先确定双曲线的标准方程，再求该冷却塔在 96 米高度处开口圆面的直径是多少米？

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15. 某光学装置的水平截面边界可近似看作以测量坐标原点为中心、实轴沿 x 轴的双曲线。测得双曲线的顶点距中心均为 5 m，实轴长为 10 m，虚轴长为 8 m。若 x、y 的单位均为米，这条双曲线的标准方程是什么？

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16. 已知椭圆 x²/25 + y²/16 = 1 上一点 P 到椭圆左焦点 F₁ 的距离为 6，则点 P 到右焦点 F₂ 的距离为 ____；该椭圆的离心率为 ____。

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17. 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在y轴上，离心率为3/5，短轴长为8，则该椭圆的标准方程为____。

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18. 抛物线 y²=8x 的焦点到其准线的距离为（　） A. 2　B. 4　C. 8　D. 16

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19. 一条抛物线的顶点为坐标原点，焦点在 x 轴正半轴上，且焦点到准线的距离为 6。该抛物线的标准方程是（　　） A. y²=12x　B. y²=6x　C. x²=12y　D. y²=-12x

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20. 椭圆 C：x²/3+y²=1，直线 lₜ：y=x+t。直线 l₁ 与椭圆 C 的位置关系是____；若 t>0 且 lₜ 与 C 相切，则 t=____。

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21. 抛物线 x²=−8y 的焦点坐标为____，准线方程为____。

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22. 已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，其一条渐近线的方程为 y=3x/4，且该双曲线的离心率为 5/4，则此双曲线的实轴长为____，焦点坐标为____。

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23. 某圆形花坛的边界在平面直角坐标系中表示为圆 x²+y²=25，坐标单位为米。一条直线路径的方程为 y=3，路径与花坛边界相交于几处？

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24. 已知抛物线 y²=2px（p>0）上一点 M 到焦点的距离为 5，且 M 的横坐标为 3，则该抛物线的焦点坐标是（　　） A. (2,0)　B. (1,0)　C. (4,0)　D. (3,0)

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25. 椭圆 C：x²/4＋y²/9＝1。直线 lₘ：y＝mx＋5 与 C 恰有一个公共点时，实数 m 的所有值为____。

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26. 顶点在坐标原点、对称轴为 y 轴且开口向下的抛物线，其准线方程为 y=3，则该抛物线的标准方程为（　　） A. x²=−12y　B. x²=−6y　C. y²=−12x　D. x²=12y

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27. 直线 l：y=2x+1 与双曲线 C：x²/3−y²/2=1 的公共点个数为（　） A. 0　B. 1　C. 2　D. 4

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人教版（B版）（主编：高存明）·数学其他单元练习题

第一章集合与常用逻辑用语（27题）第四章数列（27题）第一章空间向量与立体几何（27题）第九章解三角形（27题）第七章三角函数（18题）第六章平面向量及其应用（27题）第五章一元函数的导数及其应用（27题）第二章直线和圆的方程（18题）本书拓展阅读目录（27题）本书拓展阅读目录（27题）第二章一元二次函数、方程和不等式（27题）数学探究用向量法研究三角形的性质（18题）

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