大学抽象代数（近世代数）（大学通用）上册《整环、域与特征》练习题

共 18 道沉淀题 · AI 对照课标原创 · 三重审校答案可核对

需要完整试卷（抽象代数（近世代数）（大学通用）上册《整环、域与特征》单元测试卷）？

按本单元考点 AI 生成整卷：正卷 + 答案页 + 逐题解析，PDF 精排 / Word 可编辑 / 打印装订寄到家。

生成完整试卷 →

本单元考点（4 个）

整环与域的定义及关系零因子与消去律环的特征有限整环是域

本单元练习题（18 题）

选择题 ★ 精品详情 →

1. 设 R 是含幺交换环且无零因子（即整环），其特征 char(R) 定义为使 n·1=0 的最小正整数 n（若不存在则记为 0）。下列关于 char(R) 的结论中，正确的是（　） A. char(R) 要么为 0，要么必为素数 B. char(R) 可以是任意正整数，如 6 也可能成为某整环的特征 C. 若 char(R)=0，则 R 必为域 D. 若 char(R)=p 为素数，则 R 中必存在非零元 a 使 p·a≠0 E. char(R) 必为 1

登录查看答案

填空题 ★ 精品详情 →

2. 设 R 是含乘法单位元 1 的整环。若 R 中存在非零元素 a，使得 5a = 0（即 a+a+a+a+a = 0），则 char(R) = ____；此时该特征的值是____（填'素数'或'0'）。

登录查看答案

填空题 ★ 精品详情 →

3. 设 R 是一个恰含 8 个元素的交换幺环，且无零因子。证明性填空：对任意非零元素 a∈R，由消去律可知映射 x↦ax 是 R 上的单射，从而必为满射，故存在 b∈R 使 ab=____，即每个非零元在 R 中可逆，因此 R 是____（填环的类型名）。

登录查看答案

填空题 ★ 精品详情 →

4. 设 D 是一个恰含 121 个元素的有限整环，乘法单位元记为 1。由有限整环必为域可知，D ____（填“是”或“不是”）一个域；又因为域作为整环其特征必为素数，而 121 = 11²，故 D 的特征（即使 n·1 = 0 的最小正整数 n）为 ____。

登录查看答案

选择题详情 →

5. 设 R 是含乘法单位元 1 的交换环，且 R 中每个非零元素均可逆，则下列关于 R 的说法正确的是：R 是整环但未必是域；R 必是域，且其特征或为素数或为 0；R 的特征一定不为 0；R 必为除环但未必为交换环。 A. R 是整环但未必是域　B. R 必是域，且其特征或为素数或为 0　C. R 的特征一定不为 0　D. R 必为除环但未必为交换环

登录查看答案

选择题详情 →

6. 设 R = Z₆ × Z₁₀（按分量定义加法与乘法），则环 R 的特征为多少？ A. 2　B. 10　C. 30　D. 60

登录查看答案

填空题详情 →

7. 设 R 是含乘法单位元 1 的交换环，且 R 无零因子。已知 R 的加法单位元 0 满足 6·1 = 0 且对任意 0 < k < 6 均有 k·1 ≠ 0，则 R 的特征为 ____；若另有一环 S，其单位元满足对任意正整数 n 都有 n·1 ≠ 0，则 S 的特征为 ____。

登录查看答案

选择题详情 →

8. 设 R 是一个有单位元 1≠0 的交换环，则下列结论正确的是： A. 若 R 无零因子，则 R 中消去律成立（ab=ac 且 a≠0 可推出 b=c） B. 若 R 中消去律成立，则 R 仍可能有非零零因子 C. 交换环若无零因子则一定是域 D. 交换环中若 ab=0 则必有 a=0 且 b=0

登录查看答案

选择题详情 →

9. 下列命题中正确的是（　） A. 一切整环必为域，因此交换环若非域则必含零因子 B. 域必为整环，但整环未必是域，例如整数环 Z 是整环却不是域 C. 若环 R 的特征为素数 p，则 R 必为域 D. 整环与域是互不相交的两类环，即一个环不可能既是整环又是域

登录查看答案

选择题详情 →

10. 设 R 是一个至少含两个元素的交换环，且所有非零元构成乘法群。考察下列四个命题：① R 必为整环；② 若 R 为整环且只含有限个元素，则 R 必为域；③ 整环必为域；④ 存在无限整环不是域。其中正确命题的个数是（　） A. 1　B. 2　C. 3　D. 4

登录查看答案

填空题详情 →

11. 已知有限整环必为域。设 D 是一个恰含 7 个元素且乘法单位元为 1 的整环，则由整环与域的关系可知 D 是一个域，其特征（即最小正整数 n 使得 n·1 = 0，若不存在则为 0）为 ____。

登录查看答案

选择题详情 →

12. 下列关于整环与域的定义及关系的说法中，正确的是（　） A. 任何域都是整环，因为域的任一非零元都有逆元，故域中无零因子 B. 任何整环都是域，因为整环满足消去律，每个非零元必可逆 C. 存在含零因子的交换环仍是域 D. 域可以含有零因子，只要其每个非零元都有乘法逆元

登录查看答案

选择题详情 →

13. 下列关于整环与域的关系，说法正确的是（　） A. 整环必为域，因为整环中每个非零元都有乘法逆元 B. 域必为整环，但整环未必是域，例如整数环 Z 是整环却不是域 C. 存在含零因子的域 D. 交换环要么是整环要么是域，二者必居其一

登录查看答案

填空题详情 →

14. 设 R 是一个恰含 5 个元素的整环（乘法单位元为 1）。因为有限整环必为域，所以 R ____（填'是'或'不是'）一个域；又 5 是素数，故 R 的特征为 ____。

登录查看答案

选择题详情 →

15. 考察关于整环、域及特征的下列四个命题：① 域一定是整环；② 有限个元素构成的整环必为域；③ 若整环 D 的特征为 n，则 n 必为素数；④ 无限整环必不是域。其中正确命题的个数是（　） A. 1　B. 2　C. 3　D. 4

登录查看答案

填空题详情 →

16. 设 D 是一个恰含 9 个元素的整环。对任意非零元素 a∈D，考虑映射 f:D→D，f(x)=ax。由整环无零因子可知 f 是单射；又因 D 是有限集，f 必为满射，故方程 ax=1 在 D 中恰有 ____ 个解（对每个固定的非零 a 而言）。

登录查看答案

填空题详情 →

17. 在环 Z₁₂（模 12 的剩余类环）中，非零元素 ā 若存在非零元素 b̄ 使 ā·b̄ = 0̄，则称 ā 为零因子；消去律（ā≠0 且 ā·b̄ = ā·c̄ 可推出 b̄=c̄）在 Z₁₂ 中不成立，其失效根源正是零因子的存在。则 Z₁₂ 中零因子的个数为____。

登录查看答案

填空题详情 →

18. 设 D 是交换环，且 |D|=11，乘法单位元为 1。已知有限整环必为域，且整环的特征必为素数或 0。考察命题：① D 是整环当且仅当 D 无零因子；② 若 D 是整环，则 D 必为域；③ 若 D 是域，则每个非零元都有乘法逆元；④ D 的特征必为 0。则正确命题的个数为 ____。

登录查看答案

抽象代数（近世代数）（大学通用）其他单元练习题

集合与映射（18题）群的基本概念（9题）子群与陪集（9题）循环群与置换群（9题）正规子群与商群（9题）群同态与同构定理（9题）环与理想（9题）多项式环（9题）域的扩张与有限域（18题）

题目由 AI 对照课标原创生成并经机审+人审，如发现质量问题可联系我们。