大学抽象代数（近世代数）（大学通用）上册《子群与陪集》练习题

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本单元考点（4 个）

子群判定定理由子集生成的子群左陪集与右陪集拉格朗日定理及其推论

本单元练习题（9 题）

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1. 设 G 是一个群，H 是 G 的非空子集。下列条件中能保证 H 是 G 的子群的是（　）A. 对任意 a,b∈H，ab∈H　B. 对任意 a∈H，a 的逆元 a⁻¹∈H　C. 对任意 a,b∈H，ab⁻¹∈H　D. H 中的元素个数等于 G 中的元素个数

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2. 设 G 是 30 阶有限群，H 与 K 均为 G 的子群，且 H 的阶为 6，K 的阶为 5。下列结论正确的是： A. H 与 K 的阶都必须整除 G 的阶，故 |H∩K| 只能是 1 或 5 B. K 必为 G 的正规子群 C. H 在 G 中恰有 5 个不同的左陪集，K 在 G 中恰有 6 个不同的左陪集 D. 存在 30 阶元 a∈G，使得 H 和 K 都是 <a> 的子群

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3. 设 G 是一个 24 阶群，H 是 G 的子群。根据拉格朗日定理，下列哪个数不可能是 H 的阶？A. 4　B. 6　C. 5　D. 12

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4. 设 G 是一个无限群，H 是 G 的非空子集。下列条件中能保证 H 是 G 的子群的是（　） A. 对任意 a,b∈H，都有 ab∈H B. 对任意 a,b∈H，都有 ab⁻¹∈H C. e∈H 且对任意 a,b∈H 都有 ab∈H D. 对任意 a∈H，都存在正整数 n 使 aⁿ=e

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5. 设 G 是 12 阶有限群，a 是 G 中的一个非单位元。由拉格朗日定理及其推论可判断，元素 a 的阶不可能为下列哪个数？A. 2　B. 3　C. 4　D. 8

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6. 设 G = S₃（三次对称群），H = {(1), (12)} 为 G 的子群。下列关于 H 的陪集的结论中，正确的是（　） A. H 的左陪集个数与右陪集个数均为 3 B. H 的左陪集个数与右陪集个数可能不相等 C. H 的左陪集恰有 2 个 D. 对任意 g ∈ S₃，必有 gH = Hg，即 H 是 S₃ 的正规子群

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7. 设 G=S₃ 为三个文字上的全体置换（合成约定为右到左），H={e,(12)} 为 G 的子群。则下列元素属于左陪集 (123)H 的是（　） A. (12) B. (23) C. e D. (13)

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8. 设 (Z₁₂, +) 为模 12 的剩余类加法群，H = ⟨4̄, 6̄⟩ 是由元素 4̄ 与 6̄ 生成的子群。下列关于 H 的判断正确的是： A. H = {0̄, 3̄, 6̄, 9̄}，阶为 4 B. H = {0̄, 2̄, 4̄, 6̄, 8̄, 10̄}，阶为 6 C. H = {0̄, 4̄, 8̄}，阶为 3 D. H = Z₁₂，阶为 12

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9. 设 G=(Z,+)，H=⟨4⟩∪⟨6⟩ 生成的子群 K=⟨4,6⟩，则下列结论正确的是（　） A. K=⟨2⟩ B. K=⟨12⟩ C. K=⟨4⟩∪⟨6⟩ 本身，且是子群 D. K=⟨24⟩

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