大学抽象代数（近世代数）（大学通用）上册《群的基本概念》练习题

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本单元考点（4 个）

群的定义与判定群中元素的阶群的消去律及基本性质群乘法运算表的构造

本单元练习题（9 题）

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1. 设 G 为全体非零实数的集合，在 G 上定义运算 a*b=ab/2（即两数乘积的一半）。下列关于代数系统 (G,*) 的说法正确的是：A. 不是群，因为该运算不满足结合律　B. 是群，且其单位元为 2，元素 a 的逆元为 4/a　C. 不是群，因为该运算没有单位元　D. 是群，且其单位元为 1，元素 a 的逆元为 1/a

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2. 在整数集 Z 上定义运算 a*b=a+b-1。下列关于 (Z,*) 的说法正确的是：A. 不是群，因为无单位元　B. 是群，单位元为 1，每个元素 a 的逆元为 2-a　C. 是群，单位元为 0，每个元素 a 的逆元为 -a　D. 是群，但不是每个元素都有逆元

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3. 设 G 为群，a∈G 且元素 a 的阶为 6，b = a^(-1)。则元素 b 的阶为多少？ A. 1 B. 2 C. 3 D. 6

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4. 设 G 为群，a∈G，若 a² 的阶为 8，且元素 a 的阶为有限数，则 a 的阶只可能是（　） A. 4 B. 8 C. 16 D. 12

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5. 设 G 是群，a, b, c ∈ G，且 a*b = a*c。下列结论中正确的是（　） A. b = c B. a = b C. b = a*c D. 无法确定 b 与 c 的关系

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6. 设 G={e,a,b,c} 为克莱因四元群，其乘法满足：e 为单位元，a·a=b·b=c·c=e，且 a·b=c。据此构造 G 的群乘法运算表，则表中位于行 c、列 a 处（即 c·a）的元素是（　） A. e　B. b　C. c　D. a

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7. 设 G 是群，a, b, c ∈ G。若方程 a x b = c（其中 a, b ≠ e，x 为未知元），则 x =（　） A. a⁻¹ c b⁻¹　B. b⁻¹ c a⁻¹　C. c b a　D. c a b

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8. 设 G={e, a, a², a³} 为四阶循环群，其中 a⁴=e。按要求构造 G 的群乘法运算表（行为左操作数，列为右操作数），则表中位于行 a²、列 a³ 处的元素应为A. a　B. e　C. a²　D. a³

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9. 设 G 为群，a∈G 且元素 a 的阶为 12，b = a^8。则元素 b 的阶为（　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

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