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大学抽象代数（近世代数）（大学通用）上册《集合与映射》练习题

共 18 道沉淀题 · AI 对照课标原创 · 三重审校答案可核对

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本单元考点（4 个）

集合的并交补差运算映射的复合与逆映射单射、满射与双射的判定等价关系与商集

本单元练习题（18 题）

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1. 设映射 f: R→R 为 f(x)=2x+1，g: R→R 为 g(x)=x²。下列结论正确的是： A. (g∘f)(x)=4x²+4x+1，且 f 存在逆映射 f⁻¹(x)=(x−1)/2 B. (g∘f)(x)=2x²+1，且 f 不存在逆映射 C. (f∘g)(x)=2x²+1，且 f⁻¹(x)=(x+1)/2 D. (g∘f)(x)=(2x+1)²，且 g 存在逆映射 g⁻¹(x)=√x

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2. 设映射 f: N→N（N 为非负整数集），定义 f(n)=n+1。又设映射 g: Z→Z，定义 g(n)=2n。下列说法正确的是：A. f 与 g 都是单射但非满射　B. f 是双射，g 是单射但非满射　C. f 是单射但非满射，g 是双射　D. f 与 g 都是双射

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3. 在整数集 Z 上定义二元关系 R：x R y 当且仅当 x² ≡ y² (mod 12)。易验证 R 是 Z 上的等价关系，则商集 Z/R 中含有 ____ 个等价类。

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4. 设映射 f: [1,+∞) → [0,+∞)，定义 f(x)=√(x−1)。判定 f 的单射性与满射性，并求其逆映射 f⁻¹(y)=____（y∈[0,+∞)）

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5. 设映射 f: R→R 定义为 f(x)=3x−2，映射 g: R→R 定义为 g(x)=x³。则复合映射 (g∘f)(x)=____；映射 f 的逆映射 f⁻¹(x)=____。

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6. 设映射 f: R→R，定义 f(x)=x³−x。下列关于 f 的说法正确的是： A. f 是单射但不是满射 B. f 是双射 C. f 是满射但不是单射 D. f 既不是单射也不是满射

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7. 设全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，集合 A={2,4,6,8,10}，B={1,2,3,4,5}，则 (A∪B)′ ∪ B′ 等于（　） A. {6,7,8,9,10} B. {2,4} C. U D. ∅

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8. 设全集 U={a,b,c,d,e,f}，集合 A={a,b,c,d}，B={b,c,e}，则 A′∩(B∪A′) 等于（　） A. {e,f} B. {a,b,c,d} C. {b,c,e} D. {e}

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9. 设映射 f: R→R，f(x)=2x/(1+x²)。下列判断正确的是： A. f 是单射但不是满射 B. f 是满射但不是单射 C. f 既是单射又是满射（双射） D. f 既不是单射也不是满射

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10. 设映射 f: [0,+∞)→[0,+∞)，f(x)=x²。则 f 的逆映射 f⁻¹(x)=____

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11. 设映射 f: R→R 定义为 f(x)=x²+1，映射 g: R→R 定义为 g(x)=2x−3。则复合映射 (g∘f)(x)=____。

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12. 设映射 f: [0,1] → [0, 1/2]，定义 f(x)=x/(1+x)。设 A: f 是单射但不是满射；B: f 是满射但不是单射；C: f 是双射；D: f 既不是单射也不是满射。其中唯一正确的判断是 ____（填 A、B、C 或 D）。

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13. 设映射 f: R→R 为 f(x)=x³+1，g: R→R 为 g(x)=2x−5。则复合映射 (f∘g)(x)=（　） A. 8x³−60x²+150x−124 B. 2x³−3 C. 8x³−30x²+30x−4 D. 2x³+2

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14. 设全集 U={1,2,3,4,5,6}，集合 A={1,2,3}，B={2,4,6}，则 A′∪(A∩B′) 等于（　） A. {4,5,6} B. {1,3,4,5,6} C. {2,4,6} D. {1,3}

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15. 设 A = {1, 2, 3, 4}，定义 A 上的关系 R：xRy 当且仅当 x ≡ y (mod 2)。则 R 的不同等价类共有____个。

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16. 在整数集 Z 上定义关系 R：a R b 当且仅当 a−b 是偶数。设 R 在 Z 上诱导的商集记为 Z/R，则 Z/R 中元素的个数为 ____，且商集为 ____（用集合表示写出商集）。

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17. 设映射 f: Z → N（N 为非负整数集），定义 f(x)=|x|（|x| 表示 x 的绝对值）。下列判断正确的是： A. f 是单射但不是满射 B. f 是满射但不是单射 C. f 是双射 D. f 既不是单射也不是满射

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18. 设映射 f: [2,+∞) → [3,+∞)，定义 f(x)=x²−4x+7。经配方可得 f(x)=(x−2)²+3，由此判定 f 既是单射又是满射，从而存在逆映射。则逆映射 f⁻¹(y)=____（y∈[3,+∞)）。

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