大学抽象代数（近世代数）（大学通用）上册《域的扩张与有限域》练习题

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本单元考点（4 个）

域扩张的次数与性质代数扩张与超越扩张有限域的构造与性质有限域的乘法群是循环群

本单元练习题（18 题）

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1. 设 F₂₅ 是含 25 个元素的有限域，其乘法群 F₂₅* 是循环群。问 F₂₅* 中可作为该循环群生成元（本原元）的元素个数是多少？ A. 4 B. 6 C. 8 D. 12

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2. 设 F 是含 729 个元素的有限域。则 F 的乘法群 F* 的阶为____，且 F* 中生成元（本原元）的个数为____。

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3. 设 F₉ 是含 9 个元素的有限域，其乘法群 F₉* 为循环群。问 F₉* 中可作为该循环群的生成元（即本原元）的元素个数是多少？ A. 2 B. 4 C. 8 D. 6

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4. 设 GF(4) 是含 4 个元素的有限域。下列结论正确的是（　） A. GF(4) 包含 GF(2) 作为子域，其加法群同构于 Z/2Z×Z/2Z B. GF(4) 的特征为 4 C. GF(4) 的乘法群阶为 4 D. GF(4) 同构于环 Z/4Z

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5. 设 F₆₄ 是含 64 个元素的有限域，则下列结论中正确的是 A. F₆₄ 的素子域是 F₄，且 F₆₄ 的乘法群 F₆₄* 的阶为 64 B. F₆₄ 的乘法群 F₆₄* 是 63 阶循环群，且 F₆₄ 恰有 4 个子域 C. F₆₄ 的子域恰有 6 个，对应 6 的全部真因子 D. F₆₄ 的每个非零元都满足 x⁶⁴=1，且 F₆₄ 的素子域是 F₂

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6. 设 α = ∛2（2 的三次方根）。则 α 在 Q 上的极小多项式为 x³ - 2，且 [Q(α) : Q] = ____。

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7. 下列扩张中，属于超越扩张的是（　） A. Q(√2)/Q B. Q(π)/Q C. Q(∛5)/Q D. Q(i)/Q，其中 i 满足 i² = -1

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8. 设 F_p^n 表示含 p^n 个元素的有限域，下列关于有限域的结论正确的是（　） A. 对任意素数 p 与正整数 n，存在唯一的含 p^n 个元素的有限域，且其乘法群是阶为 p^n−1 的循环群 B. 含 p^n 个元素的有限域恰有两个，彼此不同构 C. 有限域的乘法群是阶为 p^n 的循环群 D. 含 p^n 个元素的有限域仅在 n 为素数时才存在

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9. 设 E = Q(π)，F = Q(√2)。下列关于扩张 E/F 与相关论断的判断中，正确的是（　） A. π 是 F 上的代数元，故 E/F 是代数扩张 B. √2 在 Q 上是代数元，故 E = Q(π) 是 Q 的代数扩张 C. π 在 F 上是超越元，故 E/F 是超越扩张 D. 因为 [E:Q] 有限，所以 E/F 是代数扩张

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10. 设 e 为自然对数的底。判断下列扩张的类型并填空：扩张 Q(√3)/Q 是____扩张（填「代数」或「超越」），扩张 Q(e)/Q 是____扩张（填「代数」或「超越」）。

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11. 设 F₂₇ 是含 27 个元素的有限域，其乘法群 F₂₇* 是循环群。若 α 是 F₂₇* 的一个生成元（本原元），则 α 的阶为 ____；F₂₇* 中可作为生成元的元素共有 ____ 个。

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12. 设 F 为含 125 个元素的有限域。则 F 的特征为____，F 作为其素子域上的向量空间的维数为____，F 的乘法群 F* 的阶为____。

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13. 设 E 是域 F 的有限扩张，K 是中间域（F ⊆ K ⊆ E），且 [K:F]=3，[E:K]=4，则 [E:F] 等于（　　） A. 7　B. 12　C. 4　D. 3

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14. 设 F = Q(√2, ∛2)，考察扩张 F/Q 及相关命题。下列论断中正确的是（　） A. √2 与 ∛2 都是 Q 上的代数元，故 F/Q 是代数扩张 B. 因为 ∛2 是无理数，所以 F/Q 是超越扩张 C. F/Q 是超越扩张，因为 F 同时包含二次与三次代数元 D. 无法判断 F/Q 的类型，需先求出 [F:Q] 的具体数值

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15. 设 F₆₂₅ 是含 625 个元素的有限域，其乘法群 F₆₂₅* 是循环群。若 α 是 F₆₂₅* 的一个生成元，则 α 的阶为 ____。

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16. 设 α = √2 + √3。记 K = Q(α)。（1）α 是 Q 上的____元（填「代数」或「超越」）；（2）[Q(√2, √3) : Q] = ____。（只需填第二个空的数值，两个空按顺序作答，用逗号隔开）

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17. 设 E = Q(√2, √3)，F = Q，K = Q(√2)。已知 K 是 F 的 2 次扩张，且 √3 在 K 上的极小多项式为 x² − 3，故 [E:K] = 2。则扩张次数 [E:F] = ____，E 的每个元素在 F 上的次数都是 [E:F] 的约数这一性质称为扩张次数的____性。

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18. 设 K = Q(√6, √10, √15)。由于 √6·√10 = 2√15，可知 K = Q(√6, √10)。则 [K : Q] = ____。

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