大学抽象代数（近世代数）（大学通用）上册《循环群与置换群》练习题

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本单元考点（4 个）

循环群的生成元与阶循环群的子群结构置换的轮换分解置换的奇偶性

本单元练习题（9 题）

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1. 设 G=<a> 为 15 阶循环群，则下列结论正确的是（　　）。 A. G 恰有 5 个子群 B. G 恰有 4 个子群，且每个子群都是循环群 C. G 有 3 个不同的 3 阶子群 D. G 有 5 个不同的 5 阶子群

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2. 设 σ₀=(1 2 5 4) 与 τ=(1 3)(2 4) 均为 S₅ 中的置换，置换的复合约定从右向左进行（即 σ=τ∘σ₀ 表示先作用 σ₀ 再作用 τ）。将 σ=τ∘σ₀ 写成不相交轮换的乘积，其正确结果是： A. (1 4 3)(2 5) B. (1 3 4)(2 5) C. (1 4 3 2 5) D. (1 2 4 3)(5)

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3. 设 σ₀=(1 2 5 4) 与 τ=(1 3)(2 4 6) 均为 S₇ 中的置换，置换的复合约定从右向左进行。则 σ=τ∘σ₀ 的轮换分解为（　　） A. (1 4 3)(2 5 6)(7) B. (1 4 3 2 5 6)(7) C. (1 3 4)(2 6 5)(7) D. (1 2 3)(4 5 6)(7)

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4. 在 12 阶循环群 G=<a> 中，下列关于 G 的子群的结论正确的是（　　）。A. G 的每个子群都是循环群，且对 12 的每个正因子 d 恰有一个 d 阶子群　B. G 恰有 12 个子群　C. G 存在 8 阶子群　D. G 的子群未必都是循环群

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5. 在循环群 Z₁₂（模12加法群）中，下列关于其生成元与阶的说法正确的是（　　） A. 生成元恰有 6 个 B. 元素 8 的阶为 6 C. 生成元共有 φ(12)=4 个 D. 元素 9 的阶为 12

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6. 设 G=<a> 是 18 阶循环群，则下列结论正确的是（　　）。 A. G 恰有 6 个子群，且每个子群都是循环群 B. G 恰有 18 个子群，且每个子群都是循环群 C. G 恰有 9 个子群，其中存在非循环的子群 D. G 恰有 3 个子群，分别阶数为 2、3、6

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7. 设 σ₀=(1 2 5 4) 与 τ=(1 3)(2 4) 均为 S₅ 中的置换，置换的复合约定从右向左进行。则置换 σ=τ∘σ₀ 的轮换分解为（　） A. (1 4 3)(2 5) B. (1 3 4)(2 5) C. (1 4 3) D. (1 4 2 3)(5)

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8. 将置换 σ=(1 3 2)(3 5 4) 分解为若干个互不相交的轮换之积，其结果为（　） A. (1 3 2)(3 5 4) B. (1 3 5 4 2) C. (1 3 2 5 4) D. (1 5 2)(3 4)

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9. 设 σ=(1 3 5)(2 4 6 7)，τ=(1 2 3)(4 5) 均为 S₇ 中的置换，则置换 στ⁻¹ 的奇偶性为（　） A. 奇置换　B. 偶置换　C. 奇偶性无法确定　D. 既非奇置换也非偶置换

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