大学抽象代数（近世代数）（大学通用）上册《群同态与同构定理》练习题

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本单元考点（4 个）

群同态的定义与性质同态基本定理群同构的判定同态核与像的关系

本单元练习题（9 题）

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1. 设 φ: Z₁₂ → Z₄ 为映射 φ(x) = x mod 4（x 取 0 到 11）。已知 φ 是群同态，依据同态基本定理判定：φ 是否为群同构？商群 Z₁₂/Ker φ 同构于下列哪个群？A. φ 是同构，且 Z₁₂/Ker φ ≅ Z₁₂　B. φ 不是同构，Ker φ ≅ Z₃，且 Z₁₂/Ker φ ≅ Z₄　C. φ 不是同构，Ker φ ≅ Z₄，且 Z₁₂/Ker φ ≅ Z₃　D. φ 不是同构，且 Z₁₂/Ker φ ≅ Z₂

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2. 设 f: G → H 是群同态，核为 Ker f，像为 Im f，则下列结论正确的是（　） A. Ker f 是 G 的正规子群，且 G/Ker f 同构于 Im f B. Ker f 是 H 的正规子群，且 G/Ker f 同构于 H C. Ker f 是 G 的正规子群，且 G/Ker f 同构于 H D. Im f 是 G 的正规子群，且 G/Im f 同构于 H

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3. 设 f 是群 G 到群 H 的满同态，且 |G|=24，|H|=6，K=ker f。由同态基本定理，G/K ≅ H，则 |K| 等于（　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

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4. 设 φ 是群 G 到群 H 的同态映射，K=ker φ。依据同态基本定理，φ 的象 φ(G) 同构于哪个商群？（　） A. G/K B. K C. H/K D. φ(G)/K

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5. 设 φ: G → H 为群同态，且 φ 为满射。已知 Ker φ = {e_G}（G 的单位元），则下列结论正确的是（　） A. φ 是群同构，且 G ≅ Im φ = H B. Ker φ 是 H 的正规子群 C. Im φ 是 G 的正规子群，且 G/Im φ ≅ H D. φ 必为平凡同态，即 Im φ = {e_H}

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6. 设 f 是从群 G 到群 H 的群同态，e_G、e_H 分别为单位元，则下列结论中不正确的是（　　） A. f(e_G) = e_H B. 对任意 g∈G，有 f(g^(-1)) = f(g)^(-1) C. 若 f 在 G 上是单射，则 ker f = {e_G} D. 对任意 g∈G，f(g) 的阶必等于 g 的阶

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7. 设 φ 是群 G 到群 G′ 的同态映射，K = ker φ。若 φ 是单射，则由同态基本定理可知（　） A. K = {e}，且 G ≅ φ(G) B. K = G，且 G ≅ G′ C. K ≠ {e}，但 G ≅ φ(G) D. K = {e}，且 G ≅ G′

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8. 设 f 是从群 G 到群 G' 的群同态，Ker f = {x∈G | f(x)=e'}为其同态核，则下列结论中不正确的是（　　） A. 对任意 x∈G，f(x)=e' 当且仅当 x∈Ker f B. 若 G 为交换群，则 f(G) 必为 G' 的交换子群 C. Ker f 是 G 的正规子群，且 f 是单同态当且仅当 Ker f = {e} D. 对任意 x∈G，f(x) 的阶必等于 x 的阶

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9. 设 φ: G → H 是群同态，G 为 24 阶有限群，已知 Im φ 共有 8 个元素，则 Ker φ 中元素的个数为（　） A. 3 B. 4 C. 8 D. 16

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