大学抽象代数（近世代数）（大学通用）上册《正规子群与商群》练习题

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本单元考点（4 个）

正规子群的判定商群的构造与运算同态核是正规子群商群的阶及性质

本单元练习题（9 题）

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1. 设 f: G→H 为群同态，K = Ker(f)。对任意 a∈G 及 k∈K，考虑元素 a k a⁻¹。下列结论正确的是：A. a k a⁻¹ ∈ K，且由此可证 K 是 G 的正规子群　B. a k a⁻¹ ∈ K 仅当 a∈K 时成立　C. a k a⁻¹ = k 对一切 a∈G, k∈K 成立，故 K 是正规子群　D. f(aka⁻¹)=k，一般不属于 K

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2. 设 G 为群，H 为 G 的子群。下列条件中，能保证 H 是 G 的正规子群的是（　）A. H 是交换群 B. 对任意 g∈G，h∈H，有 ghg⁻¹∈H C. H 中元素的阶都相同 D. H 在 G 中的元素个数不超过 G 的元素个数的一半

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3. 设 f: G → H 是群同态，e_H 为 H 的单位元，Ker(f) = {x ∈ G | f(x) = e_H}。下列关于 Ker(f) 的结论正确的是：A. Ker(f) 是 G 的子群，但不一定是正规子群 B. Ker(f) 是 G 的正规子群，因为对任意 g ∈ G 与 a ∈ Ker(f)，有 f(gag^(-1)) = e_H C. Ker(f) 是 H 的正规子群 D. 只有当 f 是满同态时，Ker(f) 才是 G 的正规子群

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4. 设 G 为 24 阶群，N 为 G 的正规子群且 |N|=6，H 为 N 的子群且 |H|=2，则下列结论正确的是（　）A. G/N 的阶为 4，且 G/N 仍为群　B. G/N 的阶为 3　C. G/N 的阶为 18　D. 商群 G/N 的阶为 4，但其运算未必满足结合律

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5. 设 f: G → H 为群同态，e_H 是 H 的单位元，Ker(f) = {x ∈ G | f(x) = e_H}。下列说法正确的是：A. Ker(f) 是 G 的正规子群　B. Ker(f) 仅是 G 的子群，未必正规　C. Ker(f) 一定是 H 的子群　D. 若 Ker(f) 非平凡，则 f 必为单射

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6. 设 G=(Z₁₂, +)，H={0,4,8}，则 H 是 G 的正规子群，商群 G/H 共有 3 个元素：H, 1+H, 2+H。在商群 G/H 中，(5+H)+(8+H) 等于哪个元素？A. 1+H　B. 0+H（即 H）　C. 2+H　D. 3+H

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7. 设 G=(Z₁₀, +)，H={0,5}，则 H 是 G 的正规子群，商群 G/H 含有 H 与 1+H 两个元素。在商群 G/H 中，(7+H)+(4+H) 等于（　） A. H　B. 1+H　C. 2+H　D. 3+H

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8. 设 G=(Z₁₆, +) 为模16的整数加法群，H={0,4,8,12}。下列关于商群 G/H 的结论正确的是：A. G/H 共有 4 个元素，且 (6+H)+(11+H)=5+H　B. G/H 共有 8 个元素，且 (6+H)+(11+H)=1+H　C. G/H 共有 4 个元素，且 (6+H)+(11+H)=1+H　D. G/H 共有 16 个元素，且商群中每个元素都是自身的逆元

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9. 设 G=(Z₁₆, +)，H={0,8}。已知 H 是 G 的正规子群，考虑商群 G/H。在商群 G/H 中，元素 6+H 的阶为（　）。 A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

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