大学复变函数论（大学通用）上册《复变函数的积分》练习题

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本单元考点（4 个）

复变函数积分的定义复积分的基本性质积分与路径无关的条件变上限积分与原函数

本单元练习题（18 题）

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1. 设函数 f(z)=2z 在整个复平面上解析，C 为以 z₁=1 为起点、z₂=3i 为终点的任一光滑曲线。由于复积分与路径无关，可沿任一路径计算积分 ∫_C f(z)dz，其值为 ____。

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2. 设函数 f(z)=e^z 在整个复平面（单连通区域）内解析，C 为从 z=0 到 z=i 的任一光滑曲线。由复积分与路径无关的条件可知，积分 ∫_C f(z)dz 的值（　） A. 依赖于曲线 C 的具体路径，无法确定 B. 等于 e^i - 1，与路径 C 无关 C. 等于 e^i + 1，与路径 C 无关 D. 等于 0，因为起点与终点不同

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3. 下列关于单连通区域 D 内复积分 ∫_C f(z)dz 与路径无关的论断中，正确的是（　） A. 只要 f(z) 在 D 内连续，积分就与路径无关 B. 若存在 D 内的可导函数 F(z) 使 F′(z)=f(z)，则沿 D 内任一闭曲线的积分为 0 C. 若沿 D 内某一条闭曲线积分为 0，则积分与路径无关 D. 积分与路径无关时，f(z) 只需在 D 内除有限个点外解析

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4. 设曲线 C 的参数方程为 z(t)=e^{it}，t∈[0,π]（上半单位圆弧），函数 f(z)=z̄（z 的共轭）。按复变函数积分的定义，将 ∫_C f(z)dz 化为关于参数 t 的定积分并求其值，则该积分值为 ____。

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5. 设函数 f(z) 在单连通区域 D 内解析，则复积分 ∫_C f(z)dz 与路径无关的充分必要条件是（　）A. f(z) 在 D 内连续　B. f(z) 在 D 内存在原函数　C. f(z) 在 D 内有界　D. D 的边界为简单闭曲线 A. f(z) 在 D 内连续 B. f(z) 在 D 内存在原函数 C. f(z) 在 D 内有界 D. D 的边界为简单闭曲线

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6. 设曲线 C 为从点 0 到点 1+i 的直线段，函数 f(z)=Re(z)。按复变函数积分的定义将 ∫_C f(z)dz 化为关于参数 t 的定积分（取 C：z=t+it，t 从 0 到 1），则该积分的值为（　） A. 1/2　B. (1+i)/2　C. i/2　D. 1+i

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7. 设曲线 C 为从点 0 到点 i 的直线段，参数化取 z(t)=it，t∈[0,1]，函数 f(z)=z̄（z 的共轭）。按复变函数积分的定义，将 ∫_C f(z)dz 化为关于参数 t 的定积分并求其值：∫_C z̄ dz = ____

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8. 设函数 f(z) 在单连通区域 D 内解析，C₁ 与 C₂ 为 D 内任意两条具有相同起点和终点的光滑曲线，则积分 ∫(C₁) f(z)dz 与 ∫(C₂) f(z)dz 相等的条件是（　）A. 只需 C₁ 与 C₂ 不相交 B. 只需 f(z) 在 D 内连续 C. 任意两条同起终点的曲线均满足，此即柯西—古萨基本定理的推论 D. 仅当 C₁ 与 C₂ 所围区域内不含奇点且 f(z) 有界时成立

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9. 设 f(z) 在单连通区域 D 内解析，F(z)=∫从 z₀ 到 z f(ζ)dζ（z₀ 为 D 内定点，积分沿 D 内任一路径）。则 F′(z) 等于（　） A. f(z) B. f′(z) C. f(z₀) D. 不能确定，与路径有关

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10. 设 C 为圆周 |z|=1 取逆时针方向，积分 I = ∮_C dz/(z²+4)。仅利用复积分的估值不等式（|∮_C f(z)dz| ≤ M·L，其中 M 为 |f(z)| 在 C 上的上界，L 为 C 的弧长），可得到的结论是： A. |I| ≤ 2π/3 B. I = 0 C. |I| ≥ 2π/3 D. I = 2πi

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11. 设 F(z) 为变上限积分 F(z)=∫₀^z e^ζ dζ，其中积分沿连接 0 与 z 的任意光滑曲线。则 F(πi) 的值为（　） A. 2　B. −2　C. 0　D. −1

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12. 设函数 f(z) = z² 在整个复平面上解析，C₁ 为从原点到点 1+i 的直线段，C₂ 为从原点沿实轴到 1、再沿竖直方向到 1+i 的折线。由复积分与路径无关的条件可知 ∫(C₁) z²dz 与 ∫(C₂) z²dz 的大小关系为____。

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13. 设 C 为圆周 |z|=2 取逆时针方向，f(z)=1/(z²+9)。先求 |f(z)| 在 C 上的最大值 M，由估值不等式得 |∮_C f(z)dz| ≤ M·L（L 为 C 的周长）；又因 f(z) 在 C 及其内部解析，故 ∮_C f(z)dz = I 也可直接算出。则 M·L − I = ____

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14. 考察函数 f(z)=z³，设 D 为圆盘 |z−2i|<5，C₁ 是 D 内从 z=1 到 z=2+i 的任意光滑曲线，C₂ 是从 z=2+i 到 z=1 的任意光滑曲线。给出下列四个判断：① f(z) 在单连通区域 D 内解析，故 ∫(C₁) f(z)dz 与路径无关；② ∫(C₂) f(z)dz = −∫(C₁) f(z)dz；③ 由路径无关性可取任一路径计算 ∫(C₁) f(z)dz；④ 因为被积函数是奇次幂，积分值必为 0。其中正确的判断是（　）A. ①②③　B. ①③④　C. ①②④　D. ②③④

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15. 设 F(z)=∫₀^z cos(2ζ)dζ，积分沿连接 0 与 z 的任意光滑曲线。则 F(π/4 + i·0) = ____。

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16. 设曲线 C 的参数方程为 z(t)=t+it²，t∈[0,1]，函数 f(z)=|z|²。按复变函数积分的定义，将 ∫_C f(z)dz 化为关于参数 t 的定积分并求其值，则 ∫_C f(z)dz = ____

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17. 设曲线 C 为折线：从点 0 沿实轴到点 1，再沿竖直方向从点 1 到点 1+i，f(z)=Re(z)（z 的实部）。按复变函数积分的定义，将 C 分段参数化并化为对参数的定积分，则 ∫_C f(z)dz = ____。

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18. 设 F(z)=∫₀^z e^(2ζ)dζ，其中积分沿连接 0 与 z 的任意光滑曲线（单连通区域内）。利用被积函数存在原函数，求 F(ln3) 的值：F(ln3)=____。

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