大学复变函数论（大学通用）上册《留数定理及其应用》练习题

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本单元考点（4 个）

留数定理利用留数计算围道积分利用留数计算三角有理式积分辐角原理与儒歇定理

本单元练习题（9 题）

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1. 设 f(z)=1/(z²+1)，C 为正向圆周 |z|=2，则由留数定理，∮_C f(z)dz 等于（　） A. 0　B. π　C. 2πi　D. πi

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2. 利用留数定理计算积分 I = ∫₀^{2π} dθ/(5+4cosθ)，设 z = e^(iθ)，则被积函数化为 z 的有理函数后，单位圆内的极点对应的留数决定积分值。则 I =（　） A. 2π/3　B. 4π/3　C. π/3　D. 2π/√5

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3. 设 f(z)=z/(z²+4)，C 为正向圆周 |z|=3，则由留数定理，∮_C f(z)dz 等于（　） A. 0　B. πi　C. 2πi　D. 4πi

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4. 设 C 为正向圆周 |z−i|=3/2，利用留数定理计算围道积分 ∮_C dz/(z²+1) 的值为（　）。 A. π B. 0 C. 2π D. π/2

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5. 设 f(z)=z/(z²+1)，C 为正向圆周 |z|=3，则由留数定理，∮_C f(z)dz 等于（　） A. 0　B. πi　C. 2πi　D. π

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6. 利用留数计算积分 I = ∫₀^{2π} dθ/(2+cosθ)，作代换 z = e^(iθ)，则被积函数化为 z 的有理函数后，单位圆内极点处的留数给出 I 的值为（　） A. 2π/√3　B. 2π/√5　C. π/√3　D. 4π/√3

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7. 设 f(z)=z⁷−5z⁴+2z−1，则 f(z) 在圆盘 |z|<1 内的零点个数为（　） A. 1　B. 3　C. 4　D. 7

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8. 设 f(z)=1/(z²−3z+2)，C 为正向圆周 |z|=4，则由留数定理，∮_C f(z)dz 等于（　） A. 0　B. 2πi　C. −2πi　D. πi

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9. 设 f(z)=z⁶+4z³+2，由儒歇定理判断 f(z) 在圆盘 |z|<1 内的零点个数为（　） A. 2　B. 3　C. 4　D. 6

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