大学复变函数论（大学通用）上册《柯西积分定理与积分公式》练习题

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本单元考点（5 个）

柯西积分定理柯西积分公式高阶导数公式莫雷拉定理利用积分公式计算围道积分

本单元练习题（18 题）

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1. 设 C 为正向圆周 |z|=1，函数 f(z)=e^z 在 |z|≤1 上解析，则由柯西积分公式，积分 ∮_C e^z/(z) dz 的值为 A. 0　B. πi　C. 2πi·e⁰=2πi　D. 2πi·e¹=2πie

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2. 设 C 为正向圆周 |z|=2，则积分 ∮_C cos(z)/(z−π/2) dz 的值为（　） A. 2πi　B. 0　C. 2πi·sin(π/2)　D. πi

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3. 设 f(z)=∑(k=0→∞) z^k/k! （即 f(z)=e^z），D 为单连通区域 |z|<2。下列关于 f 在 D 上解析性与积分性质的判断，依据莫雷拉定理可得出的是 A. 因 f 在 D 内连续且沿 D 内任一闭曲线积分为 0，故 f 在 D 内解析 B. f 在 D 内连续，但需直接验证导数存在才能判断其解析 C. 莫雷拉定理说明沿任一闭曲线积分为 0 的连续函数必为常数 D. f 在 D 内不解析，因为幂级数只能在收敛圆内求导

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4. 设 C 为正向圆周 |z−1|=2，则积分 ∮_C (z²+1)/(z−1) dz 的值为 A. 0　B. 2πi　C. 4πi　D. 8πi

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5. 设 C 为正向圆周 |z|=3，则积分 ∮_C sin(z)/(z−1) dz = ____

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6. 设 C 为正向圆周 |z|=1，则积分 ∮_C (z²+sin z)/(z-2) dz 的值为（　） A. 0 B. 2πi(4+sin 2) C. πi(1+sin 2) D. 2πi

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7. 设 C 为正向圆周 |z|=4，则积分 ∮_C e^z/(z−2i) dz = ____

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8. 设 f(z) 在单连通区域 D 内连续，若 f 沿 D 内任意一条闭曲线 C 的积分都满足 ∮_C f(z)dz=0，则依据莫雷拉定理可以得出的结论是（　） A. f(z) 在 D 内解析 B. f(z) 在 D 内为常数 C. f(z) 在 D 内每一点处导数必为零 D. f(z) 在 D 的边界上也连续且积分必为零

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9. 设 f(z) 在单连通区域 D：|z|<1 上连续，且对 D 内任一简单闭曲线 C（或任一闭折线段围成的三角形边界），恒有 ∮_C f(z)dz = 0。根据莫雷拉定理，可直接断定 f 在 D 内____。若又补充条件 f(0)=2，则由该结论知 f 在 z=0 处任意阶可导，且 f 的原函数 F(z)（满足 F(0)=0）在 D 内____（填“存在”或“不存在”）。

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10. 设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在单连通区域 D：|z|<3 内连续，其中 u=x³−3xy²，v=3x²y−y³。现验证莫雷拉（Morera）定理的条件：对 D 内任一三角形围线 T，经查积分均有 ∮_T f(z)dz=0。由莫雷拉定理的结论，f 在 D 内解析；再结合柯西积分定理，可进一步求得 ∮_{|z|=1} f(z)dz = ____。

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11. 设函数 f(z) 在单连通区域 D 内连续，已知对 D 内任意一条简单闭曲线 C，都有 ∮_C f(z)dz=0。下列判断正确的是（　） A. 由莫雷拉定理，f 在 D 内解析 B. 莫雷拉定理要求 f 在 D 内解析才能使用 C. 只能得出 f 在 D 内连续，解析性无法判断 D. 只在 f 满足柯西-黎曼方程时才可得出 f 解析

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12. 设 C 为正向圆周 |z|=3，则积分 ∮_C e^z/(z−1)² dz 的值为（　） A. 2πe i　B. 2πi　C. 2π/e i　D. 0

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13. 设 C 为正向圆周 |z|=2，则由柯西积分公式可得 ∮_C cos(z)/(z−i) dz = ____

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14. 设 C 为正向圆周 |z|=3，则积分 ∮_C (z²+1)/(z−2i) dz = ____

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15. 设函数 f(z) 在单连通区域 D 内处处连续，若 f 沿 D 内任意一条简单闭曲线 C 的积分都满足 ∮_C f(z)dz = 0，则根据莫雷拉（Morera）定理可断定：f 在 D 内____（填写关于 f 在 D 内性质的结论），且因此 f 在 D 内存在原函数。

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16. 设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在单连通区域 D：|z|<2 内连续，其中 u=x²−y²，v=2xy。直接验证可知 u、v 具有一阶连续偏导数且满足柯西-黎曼方程，又对 D 内任一条简单闭曲线 C 均有 ∮_C f(z)dz=0。则根据莫雷拉定理，f 在 D 内____（填写「解析」或「不解析」），且 ∮_{|z|=1/2} f(z)dz = ____。

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17. 设 C 为正向圆周 |z|=4，函数 f(z) = (z²+3z)/(z-5) 在闭圆盘 |z|≤4 上解析。求积分 I = ∮_C f(z)/(z-6) dz 的值，则 I = ____。

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18. 设 C 为正向圆周 |z|=2，计算积分 ∮_C (z⁴+3z²+2)/z³ dz 的值。 A. 0　B. 2πi　C. 6πi　D. 12πi

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